广西专用高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念及运算含解析新人教A版理

考点规范练14　导数的概念及运算

基础巩固

1.(2020山东潍坊期中)设函数f(x)=x,则=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.-1

答案:B

解析:根据题意,=f'(1),

又f(x)=x,则f'(x)=1,于是f'(1)=1,

所以=1.

2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)

A.e B.-e C D.-

答案:C

解析:由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=

设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0).

因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为

3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)

A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3

答案:C

解析:令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,

∴f'(x)=4x-1,∴f'(1)=3,

∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.

4.函数f(x)=xcos x的导函数f'(x)在区间[-π,π]上的图象大致是(　　)

答案:A

解析:由题意,得f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx.因为f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数.又f'(0)=1,所以排除选项C,D.又f'=-<0,所以排除选项B.故选A.

5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)

A.(1,3) B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)

答案:C

解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.

设点P(x,y),则f'(x)=2,

即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P(1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)

A.-8 B.-6 C.-1 D.5

答案:A

解析:由题意得直线y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.

∵函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),

∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.

将点A(1,2)的坐标代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,故ab=(-2)3=-8.故选A.

7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有性质T.下列函数中具有性质T的是(　　)

A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3

答案:A

解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),

则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).

若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.

A项,y'=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;

B项,y'=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

C项,y'=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

D项,y'=3x2≥0,显然k1·k2=33=-1无解,故该函数不具有性质T.

综上,选A.

8.若存在经过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　)

A.-1或- B.-1或 C.-或- D.-或7

答案:A

解析:因为y=x3,所以y'=3x2.

设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),

则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2

又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=

当x0=0时,由直线y=0与曲线y=ax2+x-9相切,可得a=-;

当x0=时,由直线y=x-与曲线y=ax2+x-9相切,可得a=-1.

9.(2020四川青羊区模拟)已知函数f(x)=+x3,其导函数为f'(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 019)-f'(-2 019)的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:C

解析:f'(x)=+3x2,f'(-x)=+3x2,

所以f'(x)为偶函数,所以f'(2019)-f'(-2019)=0,

又因为f(x)+f(-x)=+x3+-x3==3,

所以f(2020)+f(-2020)+f'(2019)-f'(-2019)=3.

10.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　. 

答案:-3

解析:设y=f(x)=(ax+1)ex,

则f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,

∴f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.

11.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于　　　　　. 

答案:

解析:∵f'(x)==,

∴f'(-1)=-4.

∴切线方程为y=-4x-2.

∴切线在x轴、y轴上的截距分别为-,-2.

∴所求三角形的面积为

12.(2020辽宁和平区模拟)已知函数f(x)=cos 2x的导函数为f'(x),则函数g(x)=2f(x)+f'(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是　　　　　. 

答案:

解析:f'(x)=-2sin2x,

∴g(x)=2cos2x-2sin2x=-4sin2x-,

由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x+kπ(k∈Z),又x∈[0,π],x

∴g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是

能力提升

13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)

答案:D

解析:由题中y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

说明函数y=f(x)的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.

又由题中图象知函数y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,

说明函数y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.

故选D.

14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)

A.1 B C D

答案:B

解析:因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线y=x2-lnx在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=故所求距离的最小值为

15.(2020四川内江模拟)函数f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),其中Sn为数列{an}的前n项和,若an=,则f'(0)=(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),

∴f'(x)=[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]',则f'(0)=S1S2…S8,

∵an=,

∴Sn=1-+…+=1-,

∴S1S2…S8=…,即f'(0)=

16.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 

答案:4

解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.

∵函数f(x)=g(x)+x2.

∴f'(x)=g'(x)+2x,∴f'(1)=g'(1)+2=4,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.

17.(2020广东中山期末)在许多实际问题中,一个因变量往往与几个自变量有关,即因变量的值依赖于几个自变量,这样的函数称为多元函数.例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)处偏导数的全过程:

fx'(x,y)=4x+3y2,fy'(x,y)=1+6xy,所以fx'(1,2)=4×1+3×22=16,fy'(1,2)=1+6×1×2=13,由上述过程,若二元函数z=g(x,y)=ln(x2+y2),则gx'(1,2)+gy'(1,2)=　　　　. 

答案:

解析:根据题意,gx'(x,y)=,gy'(x,y)=,则gx'(1,2)=,gy'(1,2)=,所以gx'(1,2)+gy'(1,2)=

高考预测

18.(2020广东广州模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),记f1(x)=f'(x),f2(x)=f1'(x)……fn+1(x)=fn'(x)(n∈N*).若f(x)=xsin x,则f2 019(x)+f2 021(x)=(　　)

A.-2cos x B.-2sin x C.2cos x D.2sin x

答案:D

解析:f(x)=xsinx,则f1(x)=f'(x)=sinx+xcosx,

f2(x)=f1'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,

f3(x)=f2'(x)=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx,

f4(x)=f3'(x)=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinx,

f5(x)=f4'(x)=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosx,

f6(x)=f5'(x)=5cosx+cosx-xsinx=6cosx-xsinx,

f7(x)=f6'(x)=-6sinx-sinx-xcosx=-7sinx-xcosx,

……

则f1(x)+f3(x)=sinx+xcosx-3sinx-xcosx=-2sinx,

f3(x)+f5(x)=-3sinx-xcosx+5sinx+xcosx=2sinx,

f5(x)+f7(x)=5sinx+xcosx-7sinx-xcosx=-2sinx,

……

所以f4k+1(x)+f4k+3(x)=-2sinx(k∈N),

f4k+3(x)+f4k+5(x)=2sinx(k∈N),

则f2019(x)+f2021(x)=2sinx.