广西专用高考数学一轮复习考点规范练16导数与函数的极值最值含解析新人教A版理

考点规范练16　导数与函数的极值、最值

基础巩固

1.设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是(　　)

答案:C

解析:y'=(x-a)(3x-a-2b),

由y'=0得x1=a,x2=

当x=a时,y取得极大值0,

当x=时,y取得极小值且极小值为负,故选C.

2.(2020浙江杭州质检)函数f(x)=ln x-x的极大值与极小值分别为(　　)

A.极小值为0,极大值为-1 B.极大值为-1,无极小值

C.极小值为-1,极大值为0 D.极小值为-1,无极大值

答案:B

解析:f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=-1=,

令f'(x)>0,解得0<x<1,令f'(x)<0,解得x>1,

故f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,

故f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值.

3.若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.(-1,1) B.(-∞,-1)

C.(1,+∞) D.(-∞,-1)和(1,+∞)

答案:A

解析:令f'(x)=3x2-3a=0,得x=±,

令f'(x)>0,得x>或x<-;

令f'(x)<0,得-<x<

即f(x)在x=-处取极大值,在x=处取极小值.

∵函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,

∴f()=2,f(-)=6,

即a-3a+b=2且-a+3a+b=6,得a=1,b=4,∴f'(x)=3x2-3.由f'(x)<0,得-1<x<1.

故f(x)的单调递减区间为(-1,1).

4.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均连续且可导,若f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)的最大值为(　　)

A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) 

C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

答案:A

解析:令F(x)=f(x)-g(x)(x∈[a,b]),

∵f'(x)<g'(x),∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,

∴F(x)在区间[a,b]上单调递减,

∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a),

即f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).

5.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]

答案:A

解析:f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.

若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.

6.已知函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,) B.(-1,2) C.(-1,2] D.(1,4)

答案:C

解析:由题意知f'(x)=3-3x2,

令f'(x)>0,解得-1<x<1,

令f'(x)<0,解得x<-1或x>1,

由此知函数f(x)在区间(-∞,-1)内单调递减,在区间(-1,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,

∴函数f(x)在x=-1处取得极小值-2.

由题意知,-1∈(a2-12,a),即a2-12<-1<a,解得-1<a<

又当x=2时,f(2)=-2,故a≤2.∴-1<a≤2.

7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是(　　)

①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};

②f(-)是极小值,f()是极大值;

③f(x)没有最小值,也没有最大值;

④f(x)有最大值,无最小值.

A.①③ B.①②③ C.② D.①②④

答案:D

解析:由f(x)>0,可得(2x-x2)ex>0,

∵ex>0,∴2x-x2>0,∴0<x<2,故①正确;

f'(x)=ex(2-x2),由f'(x)=0,得x=±,

由f'(x)<0,得x>或x<-,

由f'(x)>0,得-<x<,

∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-),(,+∞),单调递增区间为(-),∴f(x)的极大值为f(),极小值为f(-),故②正确;

∵当x<-时,f(x)<0恒成立,且当x→+∞时,f(x)→-∞,∴f(x)无最小值,但有最大值f(),故③不正确,④正确.

8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)内的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是　　　　　. 

答案:(-4,-2)

解析:f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=由题意得(-2,-1),故m∈(-4,-2).

9.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-15]

解析:根据题意,a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,设函数f(x)=4x3+4x2+1,x∈[-2,1].求出导数f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=-所以在区间-2,-内,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,在区间-,0内,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在区间(0,1)内,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,因此在区间[-2,1]上,函数f(x)在x=-处取得极大值f,在x=0处取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a的取值范围是a≤-15.

10.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为　　　　　. 

答案:(-∞,-1)

解析:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a,由题意知,ex+a=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-a,则两函数的图象在第一象限内有交点,如图所示,结合图形可得-a>1,解得a<-1.

11.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R).

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;

(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)f(x)=(x2+x+1)ex,

f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.

当f'(x)>0时,解得x<-2或x>-1,

当f'(x)<0时,解得-2<x<-1,

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(-1,+∞);

单调递减区间为(-2,-1).

(2)令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex

=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)·(x+2)ex=0,

得x=-a或x=-2.

当a=2时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值,故a=2不符合题意.

当a<2时,-a>-2.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可知,f(x)极大值=f(-2),

由f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,解得a=4-3e2<2,

所以存在实数a<2,使f(x)的极大值为3,

此时a=4-3e2.

12.(2020吉林通化检测)已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.

(1)若x=1是f(x)的一个极值点,求a的值;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值.

解:(1)∵x=1是f(x)的一个极值点,

∴f'(1)=-2a·1+2-a=0,

∴a=1,经检验满足题意.

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2ax+(2-a)=-,

①若a≤0,则f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

②若a>0,则由f'(x)=0得x=,

且当x时,f'(x)>0,当x时,f'(x)<0,

所以f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减.

(3)由(2)知,f(x)在区间内单调递增,在区间,+∞内单调递减.

①当2,即0<a时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,

∴当x=2时,f(x)取最大值,且f(x)max=ln2-4a+2(2-a)=ln2-6a+4;

②当1<<2,即<a<1时,f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,

所以当x=时,f(x)有最大值,且最大值为f=ln-a+(2-a)=-lna--1=-lna+-1.

③当1,即a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,

∴当x=1时,f(x)有最大值,且最大值为f(1)=-a+(2-a)×1=2-2a.

综上所述,当0<a时,函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为ln2-6a+4;当<a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为-lna+-1;当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上的最大值为2-2a.

能力提升

13.(2020四川德阳模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个极值点x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<x1+x2+t恒成立,那么t的取值范围是(　　)

A.[-1,+∞) B.[-2-2ln 2,+∞)

C.[-3-ln 2,+∞) D.[-5,+∞)

答案:D

解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=(x>0),

因为函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点x1,x2,

所以方程2ax2-2x+1=0在区间(0,+∞)内有两个不相等的正实数根,

则解得0<a<

因为f(x1)+f(x2)-(x1+x2)=a-2x1+lnx1+a-2x2+lnx2-x1-x2=a[(x1+x2)2-2x1x2]-3(x1+x2)+ln(x1x2)=--1-ln2a,

设h(a)=--1-ln2a0<a<,则h'(a)=,易知h'(a)>0在区间内恒成立,

故h(a)在区间内单调递增.

故h(a)<h=-5,所以t≥-5,

所以t的取值范围是[-5,+∞).

14.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　. 

答案:[1,5)

解析:由题意,得f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)f'(1)<0,

即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5.

另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,

当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)内没有极值点.

故实数a的取值范围为[1,5).

15.如图,用平行于母线的竖直平面截一个圆柱,得到底面为弓形的圆柱体的一部分,其中M,N分别为的中点,∠EMF=120°,且EF+EG=6,当几何体的体积最大时,该柱体的高为　　　　. 

答案:2

解析:过点M作MT⊥EF,设MT=x,则ET=TF=x,

设O为所在扇形的圆心,R为扇形半径,

则∠EOT=EOF=60°,所以OT=,

则MT=OM-OT=,所以R=2x.

所得柱体的底面积为S=S扇形OEF-S△OEF=R2-R2sin120°=x2.

又EF+EG=6,所以几何体的高EG=6-2x,所以几何体的体积V=S·EG=(-x3+3x2),其中0<x<3.

令f(x)=-x3+3x2,x∈(0,3),则由f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2)=0,解得x=2.列表如下:

所以当x=2时,f(x)取得最大值,相应地几何体的体积V取得最大值,此时该柱体的高EG=2.

16.已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.

(1)求实数a的值;

(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实数b的取值范围.

解:(1)f'(x)=-2x-1,

由题意,知f'(0)=-1=0,得a=1.

(2)令g(x)=f(x)-=ln(x+1)-x2-x+x-b=ln(x+1)-x2+x-b,

所以g'(x)=-2x+=-

令g'(x)=0,解得x1=-,x2=1,

x2=1在区间[0,2]内,

且当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当1<x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以g(1)=ln2+-b为极大值,

所以要使关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,只需满足

即解得ln3-1≤b<ln2+

所以实数b的取值范围为ln3-1,ln2+.

17.(2020广东广州检测)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2-f'(0)x,其中a∈R,f'(x)为函数f(x)的导函数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若对任意x>0,f'(x)≥1+ln x-x恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)f'(x)=(x-1)ex+ex-2ax-f'(0)=x(ex-2a)-f'(0),

令x=0,则f'(0)=-f'(0),所以f'(0)=0,故f'(x)=x(ex-2a).

(ⅰ)若a≤0,则ex-2a>0,

当x<0时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,0)内单调递减;

当x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

(ⅱ)若a>0,令f'(x)=0,则x1=0,x2=ln(2a),

①若ln(2a)>0即a>,

当x<0或x>ln(2a)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,0)和(ln(2a),+∞)内单调递增;

当0<x<ln(2a)时,f'(x)<0,即f(x)在区间(0,ln(2a))内单调递减.

②若ln(2a)=0即a=,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增.

③若ln(2a)<0即0<a<,

当x<ln(2a)或x>0时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,ln(2a))和(0,+∞)内单调递增;

当ln(2a)<x<0时,f'(x)<0,f(x)在区间(ln(2a),0)内单调递减.

综上所述,

当a≤0时,f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;

当0<a<时,f(x)在区间(-∞,ln(2a))和(0,+∞)内单调递增,在区间(ln(2a),0)内单调递减;

当a=时,f(x)在R上单调递增;

当a>时,f(x)在区间(-∞,0)和(ln(2a),+∞)内单调递增,在区间(0,ln(2a))内单调递减.

(2)由f'(x)≥1+lnx-x,知2a在区间(0,+∞)内恒成立,即2a,

令g(x)=(x>0),

则g'(x)=,

令h(x)=x2ex+lnx(x>0),则h'(x)=(x2+2x)ex+>0,即h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

因为h(1)=e>0,h-1=-1<0,

所以h(x)在区间(0,+∞)内存在唯一零点x0,且x0,

所以当0<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0;当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增.

又因为h(x0)=+lnx0=0,即x0=-,

因为-=(-lnx0),所以x0=(-lnx0)(*),

设φ(x)=xex,

当x>0时,φ'(x)=(x+1)ex>0,所以φ(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

由(*)知,φ(x0)=φ(-lnx0),所以x0=-lnx0,

所以g(x)min=g(x0)===2,

所以2a≤2,即a≤1,

故实数a的取值范围为(-∞,1].

高考预测

18.已知函数f(x)=xln x.

(1)求f(x)的最小值;

(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+lnx,

令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,

所以当x=时取得最小值,最小值为-

(2)依题意知,f(x)≥ax-1在区间[1,+∞)内恒成立,

即不等式a≤lnx+对于x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=lnx+(x∈[1,+∞)),则g'(x)=,

当x≥1时,g'(x)≥0,且g'(x)=0不恒成立,故g(x)在区间[1,+∞)内是增函数,

所以g(x)的最小值是g(1)=1.

因此a≤g(x)min=g(1)=1,

故a的取值范围为(-∞,1].