广西专用高考数学一轮复习考点规范练34二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析新人教A版理

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考点规范练34　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为(　　)A.2 B.1 C.3 D.0答案:B解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,即(b-2)<0,解得<b<2,则b应取的整数值为1.2.(2020浙江杭州期中)设x,y满足约束条件则z=-2x+y的最小值为(　　)A.- B.-2 C.- D.5答案:A解析:作出x,y满足约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示.把z=-2x+y变形为y=2x+z,得到斜率为2,在y轴上的截距为z,随z变化的一族平行直线.由图可知,当直线y=2x+z经过可行域上的点B时,截距z最小.解方程组得点B的坐标为,则z=-2x+y的最小值为zmin=-2=-故选A.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为(　　)A.6 B.19 C.21 D.45答案:C解析:作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示.由解得点A的坐标为(2,3).由z=3x+5y,得y=-x+由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.所以z的最大值zmax=3×2+5×3=21.4.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)A.-1 B.1 C D.2答案:B解析:可行域如图(阴影)所示,由得交点A(1,2),当直线x=m经过点A(1,2)时,m取到最大值为1.5.(2020江西南昌模拟)已知点(m+n,m-n)在表示的平面区域内,则m2+n2的最小值为(　　)A B C D答案:D解析:作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.已知点(m+n,m-n)在可行域内,则所以m=,n=,所以m2+n2=(x2+y2).所以m2+n2的最小值即为可行域内的点与原点的距离的最小值平方的一半.由图知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值即为原点到直线2x-y-2=0的距离,所以距离的最小值为所以m2+n2的最小值为故选D.6.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限内.若点(x,y)在△ABC的内部,则z=-x+y的取值范围是(　　)A.(1-,2) B.(0,2) C.(-1,2) D.(0,1+)答案:A解析:由顶点C在第一象限内,且与点A,B构成正三角形,可求得点C的坐标为(1+,2).将目标函数z=-x+y化为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,故z的取值范围为(1-,2).7.(2020河南开封模拟)已知实数x,y满足约束条件的最小值为(　　)A.-5 B C D.2答案:B解析:已知=2x-2y,令z=x-2y,得y=x-z.作出实数x,y满足约束条件所表示的平面区域(阴影部分),如右图.由图知当直线y=x-z,经过可行域上的点A时,直线y=x-z的截距最大,此时z取得最小值,即取得最小值.由得点A的坐标为(3,4).将点A的坐标代入z=x-2y,得zmin=3-8=-5,即目标函数的最小值为8.(2020重庆模拟)已知点A(2,3),B(-2,1),若点P(x,y)的坐标x,y满足的最大值为　　　　. 答案:-8解析:作出x,y满足的不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.则=(2-x,3-y)·(-4,-2)=4x+2y-14.设z=2x+y,则y=-2x+z.由图可知当直线经过可行域上的点D时截距最大,此时z最大.解方程组即点D的坐标为(1,1).故的最大值为4×1+2×1-14=-8.9.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是　　　　　万元. 答案:27解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y(万元).由题意得此不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示.由图可知当y=-x+经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=27(万元).10.(2020山东潍坊模拟)已知实数x,y满足条件若z=ax+y的最小值为-8,则实数a=　　　　. 答案:-2解析:作出x,y满足的不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.把目标函数z=ax+y变形为y=-ax+z,若a>0,则当直线y=-ax+z过点O(0,0)时,z取得最小值0,不合题意;若a<0,则当直线y=-ax+z过点C(4,0)时,z取得最小值为4a,由4a=-8,得a=-2.11.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　. 答案:解析:由约束条件画出可行域,如图(阴影部分)所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=12.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,则z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2800,即该公司可获得的最大利润是2800元.能力提升13.(2020浙江衢州模拟)若实数x,y满足约束条件则z=2|x|-y的最小值是(　　)A.- B.5 C.-1 D.-2答案:C解析:作出实数x,y满足约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示.由已知可得点A,B,C,D的坐标分别为A,B,C(-2,-1),D(0,1).若x≥0,则z=2|x|-y可化为y=2x-z,由图可知,当直线y=2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.若x<0,则z=2|x|-y可化为y=-2x-z,由图可知,当直线y=-2x-z过点D时,直线在y轴上的截距最大,此时z取得最小值-1.故选C.14.(2020湖南长沙模拟)若实数x,y满足且2x+y-3≥k(x-2)恒成立,则k的取值范围是(　　)A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案:D解析:作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,它为△ABC及其内部,其中A(1,2),B(0,3),C(0,1),如图所示.∵对于可行域内任一点P(x,y),都有0≤x≤1,∴x-2<0.∴2x+y-3≥k(x-2),即为k=2+恒成立,转化为求z=2+的最大值,又的几何意义为点P(x,y)和点M(2,-1)连线的斜率,由图可知,kMAkMC,即-3-1.∴z∈[-1,1],即zmax=1.∴k≥1.15.已知D=,给出下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+y≥0;p2:∀(x,y)∈D,2x-y+1≤0;p3:∃(x,y)∈D,-4;p4:∃(x,y)∈D,x2+y2≥2.其中是真命题的是(　　)A.p1,p2 B.p2,p3 C.p3,p4 D.p2,p4答案:D解析:可行域为一个△ABC及其内部,其中A(-2,0),B(0,2),C(-1,3),所以直线z=x+y过点A时取最小值-2<0;z=2x-y+1过点B时取最大值-1;斜率的最小值为=-3>-4;到原点距离的平方的最小值为=2,因此选D.16.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分:图①(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图②可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图②高考预测17.已知关于x的方程x2+(a+1)x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1,x2,且0<x1<1,x2>1,则的取值范围是(　　)A BC.(-1,+∞) D.(-∞,-1)答案:B解析:∵关于x的方程x2+(a+1)x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1,x2,且0<x1<1,x2>1,用图形表示以上约束条件,得到下图的平面区域(阴影部分).设=k,k是满足的点A(a,b)与点Q(0,1)连线的斜率,解不等式组得点P的坐标为又kPQ=,直线2a+2b+3=0的斜率为-1,∴-1<k<,即的取值范围是