广西专用高考数学一轮复习考点规范练44空间向量及其运算含解析新人教A版理

考点规范练44　空间向量及其运算

基础巩固

1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为(　　)

A.-a+b+c Ba+b+c

C.-a-b+c Da-b+c

答案:A

解析:取AC的中点N,连接BN,MN,如图所示.

∵M为A1C1的中点,=a,=b,=c,

=c,)=(-)=-a+b,

=+c=-a+b+c.故选A.

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)

A.2, B.- C.-3,2 D.2,2

答案:A

解析:∵a∥b,

∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),

则解得

3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(　　)

A.-2 B.- C D.2

答案:D

解析:由题意知a·(a-λb)=0,

即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.

4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定

答案:C

解析:∵M为BC的中点,).

)=0.

∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.

5.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)

A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0

C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0

答案:A

解析:∵A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).

∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得=+,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),

解得2x+y+z=1,故选A.

6.在空间四边形ABCD中,则的值为(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案:B

解析:如图,令=a,=b,=c,

则()+()+()

=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.

7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60°的是(　　)

A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

答案:B

解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),

则cos<a,b>=

因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=60°,

故选B.

8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,0),=(2,1,0),=(0,1,5),则对角线AC1的边长为(　　)

A.4 B.4 C.5 D.12

答案:C

解析:=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),

所以||==5

9.(2020上海闵行区模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上线段　　　　　上的点. 

答案:AB1,B1C,AC

解析:因为点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点P在A,M,N三点确定的平面上.

如图,连接B1A,B1C,AC,MN,又因为M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,

从而MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面.

故点P可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.

10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当最小时,点Q的坐标是　　　　　　　　. 

答案:

解析:设==(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).

故=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6

所以当λ=时,取得最小值-,此时

所以点Q的坐标是

11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:

(1)A1,G,C三点共线;

(2)A1C⊥平面BC1D.

答案:证明(1),

可以证明)=,

,即A1,G,C三点共线.

(2)设=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=a,

且a·b=b·c=c·a=0,

=a+b+c,=c-a,

=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.

因此,即CA1⊥BC1.

同理CA1⊥BD,

又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,

故A1C⊥平面BC1D.

能力提升

12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若=x+2y-3z,则x+y+z=(　　)

A.1 B C D

答案:B

解析:=x+2y-3z,

∴x=1,y=,z=-,

∴x+y+z=1+

13.如图,直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC,平面OAC⊥平面α,∠OAC为直角,OC=4,B为OC的中点,且∠ABC=,平面α内一动点P满足∠PAB=,则的取值范围是　　　　　　. 

答案:[0,+∞)

解析:∵平面OAC⊥平面α,交线为OC,∴作AO'⊥OC,交OC于点O',则AO'⊥平面α.

以O'为原点,平面α为xO'y坐标平面,方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系O'xyz.

∵∠OAC为直角,OC=4,B为OC的中点,且∠ABC=,

∴BC=AB=OB=2,∠ABO=,O'A=,O'B=1,OO'=1,O'C=3.

设点P的坐标为(x,y,0).

∵O(0,-1,0),A(0,0,),B(0,1,0),C(0,3,0),

=(x,y+1,0),=(x,y-3,0),=(x,y,-),=(0,1,-).

又∠PAB=,=y+3=2,

即x2=6y+6≥0.∴y≥-1.

=x2+(y+1)(y-3)=6y+6+y2-2y-3=y2+4y+3=(y+2)2-1.

∵y≥-1,∴当y=-1时,取得最小值0.

CP≥0.

高考预测

14.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),则此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为(　　)

A B C D.1

答案:B

解析:一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),如图,此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形是△ABD,

∴此四面体在xOy坐标平面上的正投影图形的面积为S△ABD=1×1=故选B.