广西专用高考数学一轮复习考点规范练48圆的方程含解析新人教A版理

考点规范练48　圆的方程

基础巩固

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)

A.(x-1)2+(y-1)2=1  B.(x+1)2+(y+1)2=1

C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2

答案:D

解析:由题意可得圆的半径r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为(　　)

A.2 B.1 C D

答案:B

解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.

3.若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是(　　)

A.x-y=0 B.x+y=0

C.x-y-2=0 D.x+y-2=0

答案:D

解析:因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,又弦AB的中点为D(1,1),所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.

4.(2020北京模拟)若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,0] C.[0,+∞) D.[5,+∞)

答案:A

解析:将圆的一般方程x2+y2-4x+2y+a=0转化为圆的标准方程(x-2)2+(y+1)2=5-a,得圆心(2,-1),r=

∵圆与x轴、y轴都有公共点,

a≤1.故选A.

5.(2020全国Ⅱ,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)

A B C D

答案:B

解析:由题意可知,圆心在第一象限.

设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,

解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),

此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=

当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=

综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为故选B.

6.(2020河南郑州二模)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为(　　)

A.(x+3)2+(y+2)2=4 B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(x-4)2+(y-6)2=4  D.(x+6)2+(y+4)2=4

答案:C

解析:由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2.

由题意可得关于直线x-y+8=0对称的圆的圆心与(-2,12)关于直线对称,半径为2,

设所求的圆的圆心为(a,b),

则解得a=4,b=6,

故圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.

故选C.

7.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(　　)

A.1+ B.2 C.1+ D.2+2

答案:A

解析:将圆的一般方程化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.故选A.

8.直线l:=1与x轴、y轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的内切圆的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:(x-1)2+(y-1)2=1

解析:由直线方程=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,

如图.

设△OAB的内切圆的圆心为M(m,m).

直线方程=1可化简为3x+4y-12=0,

由点M到直线l的距离等于m得=m,解得m=1.

故△OAB的内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.

9.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为　　　　　　. 

答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4

解析:设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

由题意可得解得

所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.

10.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的标准方程.

解:(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,

则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0),

根据已知条件得解得

因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

能力提升

11.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为(　　)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

答案:D

解析:整理曲线方程x2+y2+2x-6y+1=0,得(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.

12.(2020全国高考Ⅱ卷模拟)已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN面积的最大值为(　　)

A.100 B.25 C.50 D

答案:D

解析:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4AF>0,

将(4,6),(-2,-2),(5,5)代入,

可得

解得D=-2,E=-4,F=-20.

故圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y-20=0,

即(x-1)2+(y-2)2=25,圆心坐标为(1,2),半径为5.

设点C到直线MN的距离为d,则|MN|=2=2,

∴S△CMN=|MN|·d=d,当且仅当d=,即d=时取等号,

∴△CMN面积的最大值为

故选D.

13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2

(1)求圆心P的轨迹方程;

(2)若圆心P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.

解:(1)设圆心P(x,y),圆P的半径为r.

由题设y2+2=r2,x2+3=r2,

从而y2+2=x2+3.

故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.

(2)设圆心P(x0,y0),由已知得

又P在双曲线y2-x2=1上,从而得

由

此时,圆P的半径r=

由

此时,圆P的半径r=

故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.

高考预测

14.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)及其内部所覆盖,则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:(x-2)2+(y-1)2=5

解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.

因为△OPQ为直角三角形,

所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.