广西专用高考数学一轮复习考点规范练64条件概率二项分布与正态分布含解析新人教A版理

考点规范练64　条件概率、二项分布与正态分布

基础巩固

1.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设摸到红球、白球、黄球分别为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,记下的颜色中有红有白但没有黄的概率P=3P(AAB)+3P(ABB)=3

2.(2020山东青岛模拟)已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ(单位:元)服从正态分布N(2 000,1002),则该市某居民手机支付的消费额在区间(1 900,2 200)内的概率为(　　)

附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 3.

A.0.975 9 B.0.84 C.0.818 6 D.0.477 2

答案:C

解析:∵ξ服从正态分布N(2000,1002),

∴μ=2000,σ=100,

则P(1900<ξ<2200)=P(μ-σ<ξ<μ+σ)+[P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)]

=0.6827+(0.9545-0.6827)=0.8186.故选C.

3.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个、蓝球4个、绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球、一个绿球”,则P(B|A)=(　　)

A B C D

答案:D

解析:因为P(A)=,

P(AB)=,

所以P(B|A)=

4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,

则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,

则P(A)=,P()=1-,P(B)=p,P()=1-p,

依题意得(1-p)+p=,

解得p=故选C.

5.一袋中有5个白球、3个红球,这些球除颜色外其他完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于(　　)

A B

C D

答案:D

解析:由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,

因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=

6.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,且是相互独立的.如图,将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路,则电路不发生故障的概率是(　　)

A B C D

答案:A

解析:记T1正常工作为事件A,记T2正常工作为事件B,记T3正常工作为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,电路不发生故障,则满足T1正常工作,T2,T3至少有一个正常工作.T2,T3至少有一个正常工作的概率为P1=1-P()=1-

故电路不发生故障的概率P=

7.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　. 

答案:0.18

解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;

前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.

综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.

8.(2020广东广州模拟)某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3.某用户购买了10 000件这种产品,则这10 000件产品中质量指标值位于区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的产品件数为　　　　.(注:正态分布N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3) 

答案:27

解析:因为某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9973,

所以10000件产品中质量指标值位于区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的产品件数为10000×(1-0.9973)=27.

9.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是　　　　　. 

答案:0.958

解析:透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为P1=0.3,

恰在第二次落地打破的概率为P2=0.7×0.4=0.28,

恰在第三次落地打破的概率为P3=0.7×0.6×0.9=0.378,

因此透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.

10.(2020山东枣庄期末)某高校的入学面试中有4道不同的题目,每位面试者都要回答这4道题目.已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为,假设对这4道题目能否答对是独立的,该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试.用Ai表示事件“李明答对第i道题”(i=1,2,3,4).

(1)写出所有的基本事件;

(2)求李明通过面试的概率.

解:(1)用Ai表示事件“李明答对第i道题”(i=1,2,3,4).

则所有的基本事件为

A1A2A3A4,A2A3A4,A1A3A4,A1A2A4,A1A2A3A3A4,A2A4,A2A3,A1A4,A1A3,A1A2,A1　A2A3A4,

(2)李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为,假设对这4道题目能否答对是独立的,该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试.

故李明通过面试的概率为P=P(A1A2A3A4)+P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)+P(A1A2A3)

=

11.某袋子中有1个白球和2个红球,这些球除颜色外其他完全相同.

(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球的次数X的分布列;

(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;

(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.

解:(1)由题意可知X的取值为1,2,3.

P(X=1)=;

P(X=2)=;

P(X=3)=1=

所以X的分布列是

(2)由题意可知X的取值为1,2,3,4,5.

P(X=k)=,k=1,2,3,4.

P(X=5)=

故X的分布列为

(3)因为X~B,所以X的分布列为P(X=k)=,其中k=0,1,2,3,4,5.

能力提升

12.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为(　　)

A B C D

答案:C

解析:假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事件A恰好发生一次的概率为

13.(2020福建厦门一模)小明和爸爸玩亲子游戏,规则如下:袋中装有3个大小相同的球,1个白球,2个红球,每次摸出一个球,记下颜色后放回,若摸出白球,则下一次由原摸球人继续摸球;若摸出红球,则下一次由对方摸球,规定摸球m次,最后一次由谁摸球就算谁获胜,第一次由小明摸球.

(1)求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率;

(2)设第n次(n≤m)由小明摸球的概率为Pn,则P1=1.

①求P4;

②在m=19与m=20之中选其一,小明应选哪个?(只写结果,不必说明理由)

解:(1)前3次摸球中小明恰好摸2次,即小明第1次摸到白球,第2次摸到红球或者小明第1次摸到红球之后,爸爸也摸到红球,

故P=

(2)①第4次由小明摸球的情况有以下几种:

前3次小明都摸到白球;

小明第1次摸到红球,之后两次爸爸分别摸到白球和红球;

小明第1次摸到红球,之后爸爸也摸到红球,之后小明摸到白球;

小明第1次摸到白球,第2次摸到红球,之后爸爸摸到红球.

故P4=

②应该选择m=19.

14.(2020内蒙古呼和浩特模拟)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针,某市为了解全市中小学生“体能达标”情况,决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格.若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1 000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲、乙两组学生人数的比为3∶2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.

(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩;

(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s;

(3)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布N(μ,σ2),用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格.

(注:①本题所有数据的最后结果都精确到整数;

②若随机变量z服从正态分布,则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.997 3)

解:(1)由题知,甲、乙两组学生数分别为24和16,

则这40名学生测试成绩的平均分=74.

故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.

(2)由s2=(xi-)2变形得s2=-n),

设甲组学生的测试成绩分别为x1,x2,x3,…,x24,

乙组学生的测试成绩分别为x25,x26,x27,…,x40,

则甲组的方差为[(+…+)-24×702]=42,

解得+…+=24×(16+702).

乙组的方差为[(+…+)-16×802]=62,

解得+…+=16×(36+802).

这40名学生的方差为s2=[(+…++…+)-40]

=[24×(16+702)+16×(36+802)-40×742]=48,

所以s==47.

综上,标准差s=7.

(3)由=74,s≈7,得μ的估计值为=74,σ的估计值=7,

故P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(74-2×7<X<74+2×7)=0.954 5,

即P(60<X<88)=0.954 5,

所以P(X<60)=P(X≥88)=[1-P(60<X<88)]=(1-0.954 5)=0.022 75.

从而,在全校1 000名学生中,体能达标测试“不合格”的有1 000×0.022 75=22.75≈23(人).

而<5%,故可估计该样本校学生体能达标测试合格.

高考预测

15.某高校的大一学生在军训结束前,需要进行各项过关测试,其中射击过关测试规定:每位测试的大学生最多有两次射击机会,第一次射击击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得5分;第一次未击中靶标,继续进行第二次射击,若击中靶标,立即停止射击,射击测试过关,得4分;若未击中靶标,射击测试未能过关,得2分.现有一个班组的12名大学生进行射击过关测试,假设每名大学生两次射击击中靶标的概率分别为m,0.5,每名大学生射击测试过关的概率为p.

(1)求p(用m表示);

(2)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为f(p),求f(p)取最大值时p和m的值;

(3)在(2)的结果下,求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.

解:(1)每名大学生射击测试过关的概率:

p=1-(1-m)(1-0.5)=0.5+0.5m.

(2)由题意得f(p)=p9(1-p)3(0<p<1),故f'(p)=[9p8(1-p)3-3p9(1-p)2]=3p8(1-p)2(3-4p),0<p<1.

由f'(p)=0,得p=0.75,

由f'(p)>0,得0<p<0.75,

由f'(p)<0,得0.75<p<1,

∴f(p)在区间(0,0.75)内单调递增,在区间(0.75,1)内单调递减,

∴p=0.75是f(p)的极大值点,也是f(p)的最大值点,

此时,由0.5+0.5m=0.75,解得m=0.5.

∴f(p)取得最大值时,p,m的值分别为0.75,0.5.

(3)设一名大学生射击过关测试所得分数为随机变量X,

则X的可能取值分别为5,4,2,

则P(X=5)=0.5,

P(X=4)=(1-0.5)×0.5=0.25,

P(X=2)=(1-0.5)(1-0.5)=0.25,

故一名大学生射击过关测试所得分数的平均数为E(X)=5×0.5+4×0.25+2×0.25=4,

即该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为12×4=48.