广西专用高考数学一轮复习考点规范练67不等式选讲含解析新人教A版理

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考点规范练67　不等式选讲基础巩固1.(2020安徽模拟)已知函数f(x)=|x+a|+|x-1|,a∈R.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤4;(2)对任意m∈(0,3),关于x的不等式f(x)<m++2总有解,求实数a的取值范围.解:(1)由已知,不等式f(x)≤4,即为|x+2|+|x-1|≤4,则或解得-≤-2或-2<x≤1或1<,故不等式的解集为(2)对任意m∈(0,3),关于x的不等式f(x)<m++2总有解,即f(x)min<,而y=m++2≥2+2=4,当且仅当m=,即m=1时取得最小值.又f(x)≥|(x+a)-(x-1)|=|a+1|(当且仅当(x+a)(x-1)≤0时取等号),故只需|a+1|<4,解得-5<a<3,即实数a的取值范围为(-5,3).2.已知函数f(x)=|x+1|-|ax-1|,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为(2)当x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为,所以1,故0<a≤2.综上,实数a的取值范围为(0,2].3.(2020广西二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若a=-2,解不等式f(x)≤5;(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.解:(1)当a=-2时,不等式为|2x+2|+|x-1|≤5.①当x≤-1时,不等式化为-2x-2-x+1≤5,解得x≥-2,此时-2≤x≤-1;②当-1<x<1时,不等式化为2x+2-x+1≤5,解得x≤2,此时-1<x<1;③当x≥1时,不等式化为2x+2+x-1≤5,解得,此时1≤综上所述,不等式的解集为(2)(方法一)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,当a<2,即<1时,f(x)=故f(x)min=f=-+1=3,得a=-4<2(符合题意),即a=-4.(方法二)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|=+|x-1|+|x-1|=,故f(x)min==3,又a<2,因此a=-4.4.已知x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1.(1)求的最小值;(2)求证:x2+y2+z2答案:(1)解因为x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1,所以=·(x+2y+3z)=6+6+2+2+2,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为6+2+2+2(2)证明由柯西不等式可得(12+22+32)·(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=1,整理得14(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2,当且仅当x=,即x=,y=,z=时等号成立,故x2+y2+z25.已知函数f(x)=,M是不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.答案:(1)解f(x)=当x≤-时,由f(x)<2,得-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2成立;当时,由f(x)<2,得<1.不等式f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1.从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,所以|a+b|<|1+ab|.能力提升6.(2020山西运城模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)若a=0,求不等式f(x)>的解集;(2)若f(x)<a2的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.解:(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|.当x<0时,f(x)>等价于解得x<0,该不等式恒成立.当0<x≤1时,f(x)>等价于1>2,该不等式不成立.当x>1时,f(x)>等价于解得x>因此不等式f(x)>的解集为(-∞,0)(2)由f(x)<a2的解集包含[0,1],即x∈[0,1]时f(x)<a2恒成立,即|x-a|+1-x<a2恒成立,即|x-a|<a2-1+x恒成立,即-a2+1-x<x-a<a2-1+x恒成立,所以解得a>或a<,所以实数a的取值范围是7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;综上,不等式f(x)≥-2的解集为(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直线y=x-a时,联立解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.综上可知,实数a的取值范围为a≤-2或a≥4.高考预测8.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+2|,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)≤4的解集;(2)当a<-1时,若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|=∵f(x)≤4,或-2<x<1或∴1≤或-2<x<1或-≤-2,∴-,∴不等式的解集为(2)当a<-1时,f(x)=当a<-1时,令f(x)=0,则x=或x=,又由得y=3.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B,C∵函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,∴S=3=6,解得a=-2或a=(舍).