广西专用高考数学一轮复习考点规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词含解析新人教A版文

考点规范练4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础巩固

1.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R,>0

B.∀x∈N,x2>0

C.∃x∈R,ln x<1

D.∃x∈N*,sin=1

2.(2021云南师大附中高三月考)若命题“p∧q”与命题“(¬p)∨q”都是假命题,则(　　)

A.p为真命题,q为真命题

B.p为真命题,q为假命题

C.p为假命题,q为真命题

D.p为假命题,q为假命题

3.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(　　)

A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立

B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立

C.∀x∈R,f(x)>0成立

D.∀x∈R,f(x)≤0成立

4.下列命题为假命题的是(　　)

A.∀x∈R,3x>1 

B.∀x>1,>2

C.∃x0∈R,cos x0=0 

D.∃x0∈R,lg x0>1

5.下列说法正确的是(　　)

A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,-x0≥0”

B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件

C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真

D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为

6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(¬p)∧q 

C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)

7.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且¬q的一个充分不必要条件是¬p,则a的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) 

B.(-∞,1]

C.[-1,+∞) 

D.(-∞,-3]

8.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x0∈R,+2x0+2≤0

B.任意一个四边形的四个顶点共圆

C.所有能被3整除的整数都是奇数

D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1

9.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q 

B.(¬p)∧q

C.p∧(¬q) 

D.(¬p)∧(¬q)

10.(2021东北三省四市联考)若“∃x∈,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为　　　　　. 

11.下列结论:

①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题;

②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;

③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.

其中正确结论的序号为　　　　　.(把你认为正确结论的序号都填上) 

能力提升

12.下列命题中的真命题是(　　)

A.存在x0∈R,sin2+cos2

B.任意x∈(0,π),sin x>cos x

C.任意x∈(0,+∞),x2+1>x

D.存在x0∈R,+x0=-1

13.当a>0时,设命题p:函数f(x)=x+在区间(1,2)内单调递增;命题q:不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立.若“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.0<a≤1

B.1≤a<2

C.0≤a≤2

D.0<a<1或a≥2

14.(2021云南昆明一中模拟预测)设有下列四个命题:

p1:∀x∈R,ex-1≥x;

p2:∃x0∈(0,+∞),使ln x0≤x0-1;

p3:方程x2-2ax-3=0有两个不相等的实数根;

p4:函数f(x)=sin x+的最小值是2.

则下述命题中为真命题的是　　　　　.(填序号) 

①p1∧p2;②p1∧(¬p4);③(¬p2)∨p4;④(¬p3)∨(¬p4).

15.写出一个满足“∀x∈(0,+∞),f(x+1)>f(x)均成立,f(x)在区间(0,+∞)内不是增函数”的具体函数　　　　　　　　. 

16.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　. 

高考预测

17.(2021广西玉林育才中学三模)若命题“∃x∈(0,+∞),使得ax>x2+4成立”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案：

1.B　解析对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.

2.B　解析因命题“p∧q”为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,

若p为假命题,则¬p为真命题,则(¬p)∨q为真命题,与命题“(¬p)∨q”是假命题矛盾,

故必有p为真命题,q为假命题.

3.A　解析对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在实数范围内有解,故与命题“∃x0∈R,使得f(x0)>0成立”等价.

4.A　解析因为3-1<1,所以选项A中命题为假命题.

5.C　解析A项中的否定是“∃x0∈R,-x0>0”,故A错误;

B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;

D项中概率为,故D错误;故选C.

6.D　解析命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.

q:由a>1,b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=.

∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.

∴真命题是(¬p)∧(¬q),故选D.

7.A　解析由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.由¬q的一个充分不必要条件是¬p,可知¬p是¬q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

8.D　解析选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.

由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;

选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;

而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.

9.B　解析若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;

若sinx-cosx=sin=-,

则x-+2kπ(k∈Z),

即x=+2kπ(k∈Z),

故命题q为真命题.因此(¬p)∧q为真命题.

10.λ≤-1　解析若“∃x∈,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈,都有2x2-λx-1≥0成立”是真命题,于是λ≤=2x-对∀x∈恒成立,进而λ≤-1.

11.①③　解析在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(¬q)”为假命题是正确的.在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确.在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.

12.C　解析对于选项A,∀x∈R,sin2+cos2=1,所以命题为假命题;对于选项B,存在x=,sinx=,cosx=,sinx<cosx,所以命题为假命题;对于选项C,x2+1-x=>0恒成立,所以命题为真命题;对于选项D,x2+x+1=>0恒成立,所以不存在x0∈R,使+x0=-1,所以命题为假命题.故选C.

13.A　解析∵函数f(x)=x+在区间(1,2)内单调递增,

∴f'(x)≥0在区间(1,2)内恒成立,

即1-≥0在区间(1,2)内恒成立,

即a≤x2在区间(1,2)内恒成立,∴a≤1,且a>0.①

又不等式x2+ax+1>0对任意x∈R都成立,

∴Δ=a2-4<0,∴-2<a<2.②

∵“p∧q”是真命题,

∴p,q都是真命题,故0<a≤1.

即实数a的取值范围是0<a≤1.

14.①②④　解析令f(x)=ex-1-x,由f'(x)=ex-1=0,得x=0.

当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)min=f(0)=0,所以p1为真命题;

当x0=1时,lnx0=0,x0-1=0,所以p2为真命题;

方程x2-2ax-3=0的判别式Δ=(-2a)2-4×(-3)×1=4a2+12>0,所以方程有两个不相等的实数根,所以p3为真命题;

当sinx=-1时,f(x)=sinx+=-2<0,所以p4为假命题.

所以p1∧p2,p1∧(¬p4),(¬p3)∨(¬p4)为真命题.

15.f(x)=(答案不唯一)　解析根据条件可写函数f(x)=,

则f(x+1)-f(x)==2x>0,对∀x∈(0,+∞)均成立,

并且f(x)在区间内单调递减,在区间内单调递增.

16.(-∞,-2]∪{1}　解析若p是真命题,则x2-a≥0,即a≤x2对∀x∈[1,2]恒成立,故a≤1;若q是真命题,则x2+2ax+2-a=0有实根,故Δ=(2a)2-4×1×(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.因为命题“p∧q”是真命题,所以实数a满足a≤-2或a=1.

17.(-∞,4]　解析若命题“∃x∈(0,+∞),使得ax>x2+4成立”是假命题,则有“∀x∈(0,+∞),都有ax≤x2+4成立”是真命题.即a≤x+(x>0).

又x+≥2=4,当且仅当x=2时取等号,故a≤4.