广西专用高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念及运算含解析新人教A版文

考点规范练14　导数的概念及运算

基础巩固

1.设函数f(x)=x,则=(　　)

A.0 B.1

C.2 D.-1

2.下列函数求导运算正确的是(　　)

A.(log2x)'=

B.'=

C.(xcos x)'=cos x+xsin x

D.'=-

3.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　)

A.-1 B.0

C.2 D.4

4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)

A.(1,3) 

B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3) 

D.(1,-3)

5.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)

A.-8 B.-6

C.-1 D.5

6.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)

A.1 B.

C. D.

7.(2021贵州贵阳一中高三月考)已知曲线y=f(x)=aex+在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则(　　)

A.a=e,b=-1 

B.a=1,b=0

C.a=1,b=-1 

D.a=e,b=0

8.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　. 

9.已知函数f(x)=+sin x,其导函数记为f'(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 020)-f'(-2 020)的值为　. 

10.(2021广东七校联合体联考)曲线f(x)=2x+cos x在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是　　　　　. 

11.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 

12.已知函数f(x)=cos 2x的导函数为f'(x),则函数g(x)=2f(x)+f'(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是　. 

能力提升

13.(2021四川凉山三模)已知函数f(x)=ex-+a,若曲线y=f(x)在点(b,f(b))处与直线y=0相切,则a=(　　)

A.1 B.0

C.-1 D.-1或1

14.若存在经过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　)

A.-1或- B.-1或

C.-或- D.-或7

15.函数f(x)=x(x-S1)(x-S2)…(x-S8),其中Sn为数列{an}的前n项和,若an=,则f'(0)=(　　)

A. B.

C. D.

16.(2021黑龙江齐齐哈尔三模)已知函数f(x)=sin x和g(x)=cos x图象的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论:

①f(x0)=g(x0);

②f'(x0)=g'(x0);

③f(x)和g(x)的图象在点P处的切线的倾斜角互补;

④f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直.

其中正确的是(　　)

A.①③ 

B.②④

C.②③ 

D.①④

高考预测

17.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=,且f'(1)=1,则a=　　　　　,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为　　　　　. 

答案：

1.B　解析根据题意,=f'(1),

又f(x)=x,则f'(x)=1,于是f'(1)=1,

所以=1.

2.D　解析(log2x)'=,故A错误;

'=,故B错误;

(xcosx)'=cosx-xsinx,故C错误;

'==-,故D正确.

3.B　解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,故f'(3)=-.

∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),

∴g'(3)=f(3)+3f'(3).

又由题图可知f(3)=1,

∴g'(3)=1+3×=0.

4.C　解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.

设点P(x,y),则f'(x)=2,

即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P(1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

5.A　解析由题意得直线y=kx+1过点A(1,2),

故2=k+1,即k=1.

∵函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),

∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.

将点A(1,2)的坐标代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,

故ab=(-2)3=-8.故选A.

6.B　解析因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,

则曲线y=x2-lnx在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,

所以两平行线间的距离为d=.

故所求距离的最小值为.

7.C　解析由题意,可得f'(x)=aex+.

因为曲线y=aex+在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,

所以f'(1)=ae+1=e+1,解得a=1.

将切点坐标(1,e)代入切线方程y=ex+x+b,有e+1+b=e,解得b=-1.

8.y=3x　解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,

∴所求切线的斜率k=y'|x=0=3.

∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.

9.2　解析因为f(x)=+sinx,

所以f'(x)=-+cosx,

所以f(x)+f(-x)=+sinx++sin(-x)=2,

f'(x)-f'(-x)=-+cosx+-cos(-x)=0,

所以f(2020)+f(-2020)+f'(2020)-f'(-2020)=2.

10.　解析f'(x)=2-sinx,f'=2-1=1,

所以曲线f(x)在点处的切线方程为y-π=x-,即y=x+,

所以切线在x轴上的截距为-,切线在y轴上的截距为,

所以切线与两坐标轴围成的三角形面积是.

11.4　解析由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2,

∵函数f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x,

∴f'(1)=g'(1)+2=4,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.

12.　解析f'(x)=-2sin2x,

∴g(x)=2cos2x-2sin2x=-4sin,

由+2kπ≤2x-+2kπ(k∈Z),

得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

又x∈[0,π],∴≤x≤.

∴g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是.

13.C　解析由f(x)=ex-+a,得f'(x)=ex-=ex+.

∵曲线y=f(x)在点(b,f(b))处与直线y=0相切,

∴f'(b)=0,即eb+=0,

∴eb·b=-·ln,

两边同时取以e为底的对数,可得ln(eb·b)=ln,

即lneb+lnb=ln+ln,

∴b+lnb=ln+ln.

设g(x)=x+lnx,则g'(x)=1+>0,

∴函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,

∴b=ln,即b=-lnb,又f(b)=0,

∴f(b)=eb-+a=0,

解得a=-1.

14.A　解析因为y=x3,所以y'=3x2.

设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),

则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.

又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.

当x0=0时,由直线y=0与曲线y=ax2+x-9相切,

可得a=-;

当x0=时,由直线y=x-与曲线y=ax2+x-9相切,可得a=-1.

15.B　解析∵f(x)=x(x-S1)(x-S2)…(x-S8),

∴f'(x)=[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]',则f'(0)=S1S2…S8.

∵an=,

∴Sn=1-+…+=1-,

∴S1S2…S8=×…×,即f'(0)=.

16.A　解析对于①,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,所以f(x0)=g(x0),故①正确;

对于②,因为f(x)和g(x)的图象在点P处的切线不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②错误;

对于③,由上可知,f(x0)=g(x0),即sinx0=cosx0,所以f'(x0)+g'(x0)=cosx0-sinx0=0,故③正确;

对于④,假设f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直,则有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,这与|sin2x0|≤1矛盾,故④错误.

17.0　y=　解析由f(x)=,得f'(x)=.

由f'(1)=1,即=1,解得a=0,所以f(x)=,f'(x)=,

所以f(e)=,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=.