广西专用高考数学一轮复习考点规范练15导数与函数的单调性含解析新人教A版文

考点规范练15　导数与函数的单调性

基础巩固

1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　)

A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增

B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减

C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增

D.在区间(-3,-2)内,f(x)单调递增

2.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为(　　)

A.(0,1)

B.(0,1)∪(-∞,-1)

C.(-∞,1)

D.(-∞,+∞)

3.下列函数中,在区间(-1,1)内不是增函数的为(　　)

A.y=ex+x

B.y=sin x

C.y=x3-6x2+9x+2

D.y=x2+x+1

4.(2021山西太原一模)已知函数f(x)=-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有<0,则a的取值范围为(　　)

A.a> B.a>1

C.a≥ D.a≥1

5.若函数f(x)=ex(sin x+a)在R上为增函数,则实数a的取值范围为(　　)

A.[,+∞) B.(1,+∞)

C.[-1,+∞) D.(,+∞)

6.(2021云南昆明一中模拟)已知函数f(x)=ex-e-x+sinx,若f(t)+f(1-3t)<0,则实数t的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

7.若函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

8.已知函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式xf'(x)≤0的解集为　　　　　　　　　　　　　　　. 

9.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.试求函数f(x)=kx-lnx的单调区间.

11.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.

能力提升

12.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中为y=f(x)的大致图象的是(　　)

13.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

14.(2021安徽黄山二模)已知f(x)是奇函数,当x>0时,f'(x)-f(x)>1,f(1)=3,则下列结论错误的是(　　)

A.f(4)>ef(3) B.f(4)>4e3-1

C.f(-4)>e2f(-2) D.f(-4)<-4e2-1

15.已知f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若2f(x)+f'(x)>2,f(1)=2,则不等式f(x)>e2-2x+1(其中e为自然对数的底数)的解集为　　　　　. 

16.已知函数f(x)=kx-lnx.

(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求k的取值范围;

(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.

高考预测

17.设函数f(x)=.

(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)内都单调递增;

(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.

答案：

1.C　解析由题图知,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在区间(4,5)内,f(x)单调递增.

2.A　解析f(x)=x2-lnx的定义域为(0,+∞),

f'(x)=x-,令f'(x)<0,即x-<0,

解得0<x<1或x<-1,

又x>0,所以0<x<1.故选A.

3.D　解析A中,y=ex+x,y'=ex+1>0,故y=ex+x在区间(-1,1)内是增函数;B中,y=sinx,y'=cosx,在区间(-1,1)内y'=cosx>0,故y=sinx在区间(-1,1)内是增函数;C中,y=x3-6x2+9x+2,y'=3x2-12x+9=3(x-2)2-3,在区间(-1,1)内y'=3(x-2)2-3>0,故y=x3-6x2+9x+2在区间(-1,1)内是增函数;D中,y=x2+x+1,y'=2x+1,在区间内y'>0,在区间内y'<0,故y=x2+x+1在区间(-1,1)内不是增函数.

4.C　解析由题意可得f(x)=-ax在定义域上为减函数,

所以f'(x)=-a≤0在R上恒成立,即a≥恒成立,

又因为,所以a≥.

5.A　解析因为f(x)=ex(sinx+a),所以f'(x)=ex(sinx+a+cosx).

因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,

即sinx+a+cosx≥0恒成立.

所以a≥-sinx-cosx恒成立.

因为-sinx-cosx=-sin,

所以-≤-sinx-cosx≤,所以a≥.

6.A　解析因为函数f(x)=ex-e-x+sinx的定义域为R,

f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=e-x-ex-sinx=-(ex-e-x+sinx)=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数.

因为f'(x)=ex+e-x+cosx≥2+cosx=2+cosx>0,所以函数f(x)在R上单调递增.

因为f(t)+f(1-3t)<0,所以f(t)<-f(1-3t)=f(3t-1),

所以t<3t-1,解得t>.

7.(0,+∞)　解析∵f(x)=ax3-x,∴f'(x)=3ax2-1,要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间,

则f'(x)是二次函数,且f'(x)=0有两个不等实根,

∴a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).

8.∪[0,1]∪[2,3)　解析对于不等式xf'(x)≤0,当-<x<0时,f'(x)≥0,则结合题中图象知,原不等式的解集为;当x=0时,显然成立;当0<x<3时,f'(x)≤0,则结合题中图象知,原不等式的解集为(0,1]∪[2,3).

综上,原不等式的解集为∪[0,1]∪[2,3).

9.(1,2]　解析∵f(x)=x2-9lnx,∴f'(x)=x-(x>0).令x-≤0,解得x≤-3或0<x≤3,

又x>0,∴0<x≤3,

即f(x)在区间(0,3]上单调递减.

又f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,

∴a-1>0,且a+1≤3,解得1<a≤2.

10.解函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-.

当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.

当k>0时,由f'(x)<0,即<0,解得0<x<;

由f'(x)>0,即>0,解得x>.

∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为,

单调递增区间为.

综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);

当k>0时,f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.

11.解(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,

∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.

又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),

∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.

(2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),

由f'(x)=0得x=-a或x=.

又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<,

由f'(x)>0,得x<-a或x>,

故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为(-∞,-a)和.

12.C　解析当x<-1时,xf'(x)<0,∴f'(x)>0,

∴当x<-1时,函数y=f(x)单调递增;

当-1<x<0时,xf'(x)>0,∴f'(x)<0,

∴当-1<x<0时,函数y=f(x)单调递减;

当0<x<1时,xf'(x)<0,∴f'(x)<0,

∴当0<x<1时,函数y=f(x)单调递减;

当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,

∴当x>1时,函数y=f(x)单调递增.

结合各选项,知C项正确.

13.D　解析当x<0时,

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,

令F(x)=f(x)g(x),

则当x<0时,F(x)单调递增.

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x).

∴F(x)为奇函数.

故当x>0时,F(x)仍单调递增.

根据F(x)=f(x)g(x)的性质,可作出F(x)的示意图.

∴f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

14.C　解析设g(x)=,

则g'(x)=,

又当x>0时,f'(x)-f(x)>1,即f'(x)-f(x)-1>0,

则当x>0时,有g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,

依次分析选项:

对于A,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(3),即,

变形可得f(4)+1>ef(3)+e,则有f(4)>ef(3)+e-1>ef(3),A正确;

对于B,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(1),

即,变形可得f(4)>4e3-1,B正确;

对于C,g(x)在区间(0,+∞)上为增函数,有g(4)>g(2),即,

变形可得f(4)+1>e2f(2)+e2,

即-f(-4)+1>-e2f(-2)+e2,

则有f(-4)<e2f(-2)+1-e2<e2f(-2),C错误;

对于D,由B的结论,f(4)>4e3-1,即-f(-4)>4e3-1,变形可得f(-4)<1-4e3,

而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)<0,

则有f(-4)<1-4e3<-4e2-1,D正确.

15.(1,+∞)　解析f(x)>e2-2x+1,即e2xf(x)-e2x>e2,

令g(x)=e2xf(x)-e2x,

则g'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)-2]>0,

故g(x)在R上为增函数,而g(1)=e2f(1)-e2=e2,

所以e2xf(x)-e2x>e2,即g(x)>g(1),所以x>1.

故所求不等式的解集是(1,+∞).

16.(1)解∵f(x)=kx-lnx,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,

∴f'(x)=k-≥0在区间(1,+∞)内恒成立,

∴k≥在区间(1,+∞)内恒成立,∴k≥1.

(2)证明不妨设x1>x2>0,

∵f(x1)=f(x2)=0,∴kx1-lnx1=0,kx2-lnx2=0,

可得lnx1+lnx2=k(x1+x2),lnx1-lnx2=k(x1-x2),

要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是证k(x1+x2)>2,

∵k=,∴需证明,

即ln,令=t,则t>1,于是lnt>.

令g(t)=lnt-,t>1,则g'(t)=>0,

故函数g(t)在区间(1,+∞)内是增函数,∴g(t)>g(1)=0,

即lnt>成立.∴原不等式成立.

17.(1)证明f'(x)=(x>0,且x≠1).

令g(x)=2lnx-,则g'(x)=.

当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)>g(1)=0.

于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在区间(0,1)内单调递增.

当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,

于是f'(x)=g(x)>0,

故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.

(2)解af(x)-x=-x=.

令h(x)=-lnx(x>0),则h'(x)=.

令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且φ(x)=0的判别式Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在区间(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,在函数f(x)的定义域内,h'(x)>0,故h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增,

若0<x<1,h(x)<h(1)=0,

所以af(x)-x=h(x)>0;

若x>1,h(x)>h(1)=0,

所以af(x)-x=h(x)>0,

所以当x>0,且x≠1时都有af(x)>x成立,

当0<a<时,由h'(x)<0,

解得<x<,

所以h(x)在区间内单调递减,h(x)<h(1)=0.

故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递减,所以在区间(0,1)内,h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

同理可得,当x>1时,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.

综上所述,a的取值范围是a≥.