广西专用高考数学一轮复习考点规范练31等比数列及其前n项和含解析新人教A版文

这是一份广西专用高考数学一轮复习考点规范练31等比数列及其前n项和含解析新人教A版文，共10页。
考点规范练31　等比数列及其前n项和基础巩固1.已知等比数列{an}中,a5=3,a4·a7=45,则的值为(　　)A.30 B.25 C.15 D.102.(2021广西桂林模拟)古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺数不少于50尺,则至少需要(　　)天.A.7 B.8 C.9 D.103.(2021广西玉林育才中学三模)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1a7=3a4,a2与a3的等差中项为18,则S5=(　　)A.108 B.117 C.120 D.1214.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)A.7 B.5 C.-5 D.-75.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.6.已知数列{an}为等比数列,首项a1=2,数列{bn}满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=(　　)A.8 B.16 C.32 D.647.(2021广西柳州三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{lgSn}是公差为lg 3的等差数列,则a2+a4+…+a2n=　　　　　. 8.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　　,S5=　　　　　. 9.已知在数列{an}中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列{an}的通项公式是　　　　　　　. 10.(2021河北邯郸二模)已知数列{an}满足an>0,an+1=3an+4.(1)证明:数列{an+2}为等比数列;(2)若a3=25,求数列{an-n}的前n项和Sn. 11.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和. 12.已知数列{an}满足an=2an-1+1(n≥2),a4=15.(1)求a1,a2,a3;(2)判断数列{an+1}是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列{an}的前n项和Sn. 能力提升13.(2021青岛西海岸新区高三期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则{an}的通项公式an=　　　　　;若数列{bn}的通项公式bn=n,将数列{bn}中与{an}相同的项去掉剩下的项依次构成数列{cn},{cn}的前n项和为Tn,则T100=　　　　. 14.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF,…),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2,…),有以下结论:①数列{an}是公比为的等比数列;②S1=;③数列{Sn}是公比为的等比数列;④数列{Sn}的前n项和Tn<.其中正确结论的序号有　　　　　. 15.已知一个等差数列{an}的前3项a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{an}的通项公式;(2)记(1)中选择的{an}的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由. 高考预测16.已知等比数列{bn},b1+b2=,且b2+b3=.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若数列是首项为b1,公差为b2的等差数列,求数列的前n项和. 答案：1.A　解析设等比数列{an}的公比为q.已知a5=3,a4·a7=45,则a4·a7=a4·a6·q=·q=45,解得q=5,所以=q(1+q)=30.2.C　解析由题意知,该女子每天织的布构成公比为2的等比数列,设该等比数列的前n项和为Sn,该女子所需天数至少为n,第一天织布a1尺.由题意得S5==5,解得a1=.故Sn=≥50,解得2n≥311.因为29=512,28=256,所以要织布的总尺数不少于50尺,该女子至少需要9天.3.D　解析设{an}的公比为q.∵{an}是各项均为正数的等比数列,且a1a7=3a4,∴=3a4,∴a4=3,即a1q3=3.①∵a2与a3的等差中项为18,∴a2+a3=36,即a1q+a1q2=36,②联立①②,可解得a1=81,q=,则S5==121.4.D　解析∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.联立可解得当时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,故a1+a10=+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.5.A　解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.C　解析由题意知{bn}为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.7.　解析S1=a1=1,则lgS1=lg1=0.∵{lgSn}是公差为lg3的等差数列,∴lgSn=(n-1)lg3=lg3n-1,则Sn=3n-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2×3n-2,a2=2,=3,∴数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列,可得a2+a4+…+a2n=.8.1　121　解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5==121.9.an=2n　解析在数列{an}中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,令m=1,得an+1=2an,则{an}是首项和公比均为2的等比数列,从而an=2n.10.(1)证明由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2).因为{an}是正项数列,an+2≠0,所以数列{an+2}为等比数列.(2)解若a3=25,则an+2=(a3+2)×3n-3,即an+2=(25+2)×3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列{an-n}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)--2n=-2n=.11.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=.12.解(1)由an=2an-1+1(n≥2)及a4=15知a4=2a3+1,解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.(2)由an=2an-1+1(n≥2),知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1),故{an+1}是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列.(3)∵an+1=(a1+1)·2n-1,∴an=2n-1.∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.13.an=2n,n∈N*　5 545　解析由题意,数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,所以{an}的通项公式an=2n,n∈N*.在数列{bn}的前100项中与数列{an}相同的项为2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)==5671-126=5545.14.②④　解析如图:由图知an=an+1(sin15°+cos15°)=an+1×sin(15°+45°)=an+1,对于①:因为an=an+1(an≠0),所以,数列{an}是公比为的等比数列,故不正确;对于②③:因为an=1×,所以Sn=,所以数列{Sn}是首项为,公比为的等比数列,故②正确,③不正确;对于④:因为Tn=,故④正确.15.解(1)由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{an},a1=8,d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{an},a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择①,Sn==2n2+6n.则Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则=a1·Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择②,Sn==n2+n,则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则=a1·Sk+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.16.解(1)设数列{bn}的公比为q,则解得所以bn=.(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,所以+(n-1)×,从而an=.所以=4.故数列的前n项和Sn=4++…+=41-=.