广西专用高考数学一轮复习考点规范练49直线与圆锥曲线含解析新人教A版文

考点规范练49　直线与圆锥曲线

基础巩固

1.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)

A. B.5

C. D.

2.(2021云南玉溪一中模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为(　　)

A.(1,-1) B.(2,0)

C. D.(1,1)

3.已知抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b(k≠0)有两个公共点,其横坐标分别是x1,x2,而直线y=kx+b与x轴焦点的横坐标是x3,则x1,x2,x3之间的关系是(　　)

A.x3=x1+x2

B.x3=

C.x1x3=x1x2+x2x3

D.x1x2=x1x3+x2x3

4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)

A. B.2

C.2 D.3

5.(2021广东梅州模拟)过点P(-1,-2)的两条直线与抛物线C:x2=4y分别相切于A,B两点,则△PAB的面积为(　　)

A. B.3 C.27 D.

6.已知双曲线=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为(　　)

A. B. C.2 D.3

7.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. 

8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.

9.(2021云南昆明一中月考)已知直线l:y=x+m与椭圆C:+y2=1交于A,B两点.

(1)若直线l过椭圆C的左焦点F1,求|AB|;

(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,求m.

10.设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.

能力提升

11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1 

C.=1 D.=1

12.抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(　　)

A. B. C. D.1

13.已知椭圆C:=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

高考预测

14.(2021广西南宁三中月考)若抛物线Γ:x2=2py(p>0)上的点(t,1)到焦点F的距离为2,平行于y轴的两条直线l1,l2分别交Γ于A,B两点,交Γ的准线于C,D两点.

(1)若F在线段AB上,E是CD的中点,证明:AE∥FD;

(2)若过P(0,2)的直线交Γ于G,H,以GH为直径的圆交y轴于M,N,证明:为定值.

答案：

1.D　解析不妨设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线y=x与y=x2+1只有一个交点,

由得ax2-bx+a=0,

所以Δ=b2-4a2=0,

即c2-a2-4a2=0,=5,e=.故选D.

2.A　解析因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.

设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则

则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),kPQ=.

∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,

即y1+y2=-2,∴=-1.

PQ的中点一定在直线l上,故+2=1.

故线段PQ的中点坐标为(1,-1).

3.D　解析由题意x3=-,联立抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b得ax2-kx-b=0,

∴x1+x2=,x1x2=-,

∴=-,∴x1x2=x1x3+x2x3,故选D.

4.C　解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.

因为M在x轴的上方,所以M(3,2).

因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).

因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).

所以M到直线NF的距离为=2.

5.A　解析抛物线C:x2=4y,即y=x2,故y'=x.

设A,B两点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1=,整理得x1+2y1=4,

同理x2+2y2=4.故直线AB的方程为x+2y=4,

由得x2+2x-8=0,

故x1+x2=-2,x1x2=-8,|AB|==3.

因为点P(-1,-2)到直线AB的距离为d=,故△PAB的面积为×3.

6.A　解析由双曲线的定义知2a=4,得a=2,

所以抛物线的方程为y=2x2.

因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,

所以y1=2,y2=2,

两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),

不妨设x1<x2,又A,B关于直线y=x+m对称,

所以=-1,故x1+x2=-,

而x1x2=-,解得x1=-1,x2=.

设A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为M(x0,y0),

则x0==-,y0=.

因为中点M在直线y=x+m上,

所以=-+m,解得m=.

7.　解析直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.

由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c≤即可,故c的最大值为.

8.解(1)由题意可得,c=2,b=2,

由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2.

故椭圆C的方程为=1.

(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),

由消y,得3x2+4mx+2m2-8=0,

则Δ=96-8m2>0,解得-2<m<2.

x0==-,y0=x0+m=,

因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,

所以=1,解得m=±.

9.解(1)由题意,椭圆C:+y2=1,可得a2=3,b2=1,

则c2=a2-b2=2,左焦点F1(-,0),

则直线l的方程为y=x+,设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程

整理得4x2+6x+3=0,

所以Δ=72-48>0,且x1+x2=-,x1x2=,

所以|AB|=.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),

由题知线段AB的垂直平分线方程为y=-x+,直线AB不平行于y轴,即x1≠x2,

由

两式相减整理得=-.①

因为M(x0,y0)是AB的中点,

所以2x0=x1+x2,2y0=y1+y2.

因为MN⊥AB,所以kAB=-,

所以①变形为=-,

解得x0=,所以y0=-,

代入直线y=x+m,可得-+m,解得m=-1.

10.(1)解设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.

∴OM=AF1,MF=AF,

∴|OM|+|MF|==a=5,

∵e=,∴c=2,∴b=,

∴椭圆C的方程为=1.

(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).

联立消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.

∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.

∵P(0,1),=-4,

∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,

∴+5=0,

整理得3m2-m-10=0,

解得m=2或m=-(舍去).

∴直线l的方程为y=kx+2,

∴直线l过定点(0,2).

11.A　解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.

如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作FE⊥CD于点E.

由题易知EF为梯形ABCD的中位线,

所以|EF|=(d1+d2)=3.

又因为点F(c,0)到直线y=x的距离为=b,

所以b=3,b2=9.

因为e==2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以双曲线方程为=1.故选A.

12.A　解析由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.

由题意知y0≥b>0.联立得

整理得2x2-kx-b=0,Δ=k2+8b>0,x1+x2=,x1x2=-,

则|AB|=,点M的纵坐标y0=+b.

因为弦AB的长为3,所以=3,

即(1+k2)=9,故(1+4y0-4b)(y0+b)=9,

即(1+4y0-4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0-4b)+(4y0+4b)≥2=12,当且仅当时取等号,即1+8y0≥12,y0≥,所以点M的纵坐标的最小值为.故选A.

13.解(1)由题设可得e=,得m2=,所以C的方程为=1.

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.

由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),

所以|BP|=yP,|BQ|=.

因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,

故△AP1Q1的面积为.

|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,

故△AP2Q2的面积为.

综上,△APQ的面积为.

14.证明(1)由题意1+=2,p=2,

抛物线方程为x2=4y,焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,

设直线AB方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),

由得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,

所以E,

又D(x2,-1),

要证AE∥FD,即证kAE=kFD,

即证,

只要证=-.

又y1=,x2=-,

所以=-成立,

所以AE∥FD.

(2)设直线AB方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q(x0,y0),

由得x2-4kx-8=0,

Δ=16k2+32>0,x1+x2=4k,x1x2=-8,

所以x0==2k,y0=kx0+2=2k2+2,即Q(2k,2k2+2).

又|AB|=|x1-x2|==4,

所以以AB为直径的圆的方程为(x-2k)2+(y-2k2-2)2=4(1+k2)(2+k2),

令x=0得y2-(4k2+4)y-4=0.

设M(0,y3),N(0,y4),则y3y4=-4,

所以=y3y4=-4为定值.