广西专用高考数学一轮复习单元质检5平面向量数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版理

单元质检五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.(2021全国Ⅰ)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)

A.1-2i B.1+2i 

C.1+i D.1-i

2.(2021山西名校联考三模)已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)

A. 

B. 

C.- 

D.-

3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=(　　)

A.2 B.3 

C. D.

4.(2021山东济宁模拟)已知=(-1,3),=(3,1),若线段BC的一个三等分点为M,则的坐标为(　　)

A. 

B. 

C. 

D.

5.已知复数z=a+(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 

B.第二象限

C.第三象限 

D.第四象限

6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是(　　)

A.(-3,0) B.(2,0) 

C.(3,0) D.(4,0)

7.(2021湖南衡阳八中高三月考)已知复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则|pi+q|=(　　)

A.25 B.5 

C. D.41

8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为.若a-λb与b垂直,则实数λ的值为(　　)

A.- B. 

C.- D.

9.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,,若=12,则∠ADC=(　　)

A. B. 

C. D.

10.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)

A. B. 

C. D.

11.已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.

12.(2021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,||=,∠BAD=),),则的最大值为(　　)

A. B. 

C. D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.复数z=(i为虚数单位),则|z|=　　　　. 

14.已知两个单位向量a和b的夹角为120°,则a+b在b方向上的投影为　　　　　. 

15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则()·()的最小值为　　　　　. 

16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上的一个动点,则的取值范围是　. 

答案：

1.C　解析设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1.故z=1+i.

2.C　解析如图,设E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点.因为O是△ABC的重心,

所以)==-.

3.C

4.A　解析由线段BC的一个三等分点为M,得2=2.

若2,则2-2,故;

若=2,则=2-2,

故.

5.A　解析由题意,得z=a+=a+,

∴.

又复数z的共轭复数的虚部为-,

∴-=-,解得a=2.

∴z=i,

∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

6.C　解析设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),

=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.

当x=3时,有最小值1.

故点P坐标为(3,0).

7.C　解析因为复数i-2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,

所以(i-2)2+p(i-2)+q=0,

所以pi+q=4i+2p-3,

所以

解得

则|pi+q|=|4i+5|=.

8.D　解析因为a-λb与b垂直,且a·b=1×2×cos,所以(a-λb)·b=-4λ=0,解得λ=,故选D.

9.C　解析因为=-=-,所以·=×9+×3×2cos∠BAD+×4=8+8cos∠BAD=12,所以cos∠BAD=,∠BAD=,∠ADC=.

10.D　解析由题意,得=(2+cosα,2+sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,

如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.

11.B　解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值为3,因此|-t|的最小值为.

12.C　解析由题意,以点D为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,以的方向为y轴的正方向,建立直角坐标系如图所示.

因为||=,∠BAD=,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,).

又因为),),

所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M,N.

因为∠DCB为直角,所以CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点.

设C(x,y),则+y2=,

即x2+y2=x.

又因为,

所以=-x+x2+y+y2=x-y+.

令m=x-y,

即x-2y-2m=0,

所以点C(x,y)为直线x-2y-2m=0与圆+y2=的一个交点,

因此圆心到直线x-2y-2m=0的距离小于等于半径,即,

解得≤m≤,

所以的最大值为.

13.　解析|z|=.

14.　解析设向量a+b与b的夹角为θ.

因为(a+b)·b=a·b+b2=,所以|a+b|cosθ=.

15.-1　解析如图,建立平面直角坐标系.

则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).

设P(x,y),则=(-x,1-y),=(-x,-y),=(1-x,-y),=(1-x,1-y),()·()=(-2x,1-2y)·[2(1-x),1-2y]=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2-1,

当x=,y=时,()·()有最小值,且最小值为-1.

16.[0,+1]　解析如图,画出函数y=的图象.

这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.

设的夹角为θ,则θ∈.

当θ∈时,cos,

当θ∈时,cos.

因为y=cosx,x∈R是偶函数,

所以||=2cos,θ∈.

=||||cosθ=2coscosθ=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=sin+1.

因为θ∈,

所以2θ+.

当2θ+,即θ=时,取最大值+1,

当2θ+,即θ=时,取最小值0,

所以的取值范围是[0,+1].