高考数学一轮复习考点规范练46双曲线含解析新人教A版文

这是一份高考数学一轮复习考点规范练46双曲线含解析新人教A版文，共12页。试卷主要包含了故选C，故选D等内容，欢迎下载使用。
考点规范练46　双曲线基础巩固1.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是(　　)A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2)答案:C解析:由题意得e2==1+.因为a>1,所以1<1+<2.所以1<e<.故选C.2.当双曲线M:=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±xC.y=±2x D.y=±x答案:C解析:由题意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±2x.3.若双曲线=1(a>0)的一条渐近线与直线y=x垂直,则此双曲线的实轴长为(　　)A.2 B.4 C.18 D.36答案:C解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-x,所以-=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.4.(2020全国Ⅱ,文9)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)A.4 B.8C.16 D.32答案:B解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以S△ODE=×2b·a=ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号.所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.5.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(　　)A. B. C.4 D.答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,解得=4.因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.6.已知双曲线=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为(　　)A. B.2 C.3 D.4答案:B解析:因为双曲线=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e==2.7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是　　　　　. 答案:2解析:双曲线的渐近线为y=±x,即bx±ay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为=b,解得b=c,因此a2=c2-b2=c2-c2=c2,a=c,e=2.8.双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为　　　　　. 答案:9解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2+4a=2×+8=9.9.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=2,故可得一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以.所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.故解得由=t,得(16,12)=(4t,3t),故t=4,点D的坐标为(4,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=.所以W的方程为=1(x≥).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而=x1x2+y1y2==2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x1+x2=,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=+m2==2+.又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以>2.综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.能力提升11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)A.=1 B.=1C.-y2=1 D.x2-=1答案:D解析:∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.12.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)A. B. C.2 D.答案:A解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=.∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=.∴P.又点P在圆x2+y2=a2上,∴=a2,即=a2,∴e2==2,∴e=,故选A.13.(2020浙江,8)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|=(　　)A. B. C. D.答案:D解析:由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,双曲线方程为x2-=1(x>0).又点P为函数y=3图象上的点,联立方程解得x2=,y2=.所以|OP|=.故选D.14.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　. 答案:解析:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=e2.要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,即e的最大值为.15.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故解得-<k<,且k≠±1.双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1),由(1)知,C与l联立的方程组可化简为(1-k2)x2+2kx-2=0.故当A,B在双曲线的一支上,且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上,且x1>x2时,S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.故S△OAB=|x1-x2|=,即(x1-x2)2=(2)2,即=8,解得k=0或k=±.又-<k<,且k≠±1,所以当k=0或k=±时,△AOB的面积为.16.由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形如图所示,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.解:(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2.即交点为(±2,2).设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0).若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由解得x2=6,y2=2.由解得y=±1,不满足题意,舍去.故在曲线上所求点P的坐标为(),(-),(-,-),(,-).高考预测17.已知双曲线=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为(　　)A.1+ B.C. D.答案:A解析:由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=>c,|AF|=a+c>c,|AB|==c,因为△ABF为等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|,∴a+c=.∴a2+c2+2ac=c2+c2-a2.∴c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+(舍去负值),选A.