高考数学一轮复习考点规范练54古典概型含解析新人教A版文

考点规范练54　古典概型

基础巩固

1.在2,0,1,5这组数据中,随机取出三个不同的数,则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共4种,

其中数字2是取出的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共2种,

故所求的概率为.

2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为.

3.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共有6×6=36(个),其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率为.

4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为,故选B.

5.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:四个人坐着或站起来的情形共有24=16(种).没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻,有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共7种.由古典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为.

6.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票2张,五元餐票1张,若他从口袋中随机地摸出2张,则其面值之和不少于四元的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:小明口袋里共有5张餐票,随机地摸出2张,基本事件总数n=10,其面值之和不少于四元包含的基本事件数m=5,

故其面值之和不少于四元的概率为.

7.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:由题意可知向量m=(a,b)有(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.

因为m⊥n,即m·n=0,

所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,

满足条件的有(3,3),(5,5),共2种,故所求的概率为.

8.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　　. 

答案:

解析:(方法一)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.其中向上的点数之和小于10的基本事件共有30个,所以所求概率为.

(方法二)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36个基本事件.记A表示“向上的点数之和小于10”,则表示“向上的点数之和不小于10”,的基本事件共有6个,所以P()=,所以P(A)=1-P()=.

9.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为　　　　　. 

答案:

解析:不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.

记“取出的2个包子中有香菇青菜包”为事件A,

则事件A包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.

故所求的概率为P(A)=.

10.为迎接校运动会的到来,某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动).

(1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队,求女志愿者被抽到的人数;

(2)若从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护),任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作,则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少?

解:(1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是,

故女志愿者被抽到的人数为18×=6.

(2)设喜欢运动的女志愿者为A,B,C,D,E,F,其中A,B,C,D懂得医疗救护,

则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法,

其中2人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种取法.

设“抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作”为事件A,

则抽出的2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率P(A)=.

11.某游乐园为吸引游客,推出了一项有奖转盘活动.如图,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每名游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:

①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况则奖励饮料一瓶.

(1)求在一次活动中小亮获得玩具的概率;

(2)请比较一次活动中小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

解:(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,

则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.

因为S中元素的个数是4×4=16,

所以基本事件总数为n=16.

记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共有5个,

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=,故小亮获得玩具的概率为.

(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件共有6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)=.

同理可得,事件C包含的基本事件共有5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=.

因为,所以一次活动中小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

能力提升

12.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为(　　)

A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35

答案:C

解析:根据题意,该地未来三天恰有一天下雨,就是三个数字xyz中只有一个数字在集合{1,2,3,4}中,考查所给20组数据,以下8组数据符合题意,按次序分别为925,458,683,257,027,488,730,537,

则所求概率P==0.4,故选C.

13.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f'(x)=3x2+a.

因为a∈{1,2,3,4},所以f'(x)>0,

所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.

若存在零点,则f(1)f(2)≤0,解得a+1≤b≤8+2a.

因此,可使函数在区间[1,2]上有零点的情况为:

a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8,共有3种情况;

a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;

a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12,共有3种情况;

a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12,共有2种情况.

所以有零点共有3+3+3+2=11种情况.

而构成函数共有4×4=16种情况,

根据古典概型可得有零点的概率为.

14.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为　　　　　石.(精确到小数点后一位数字) 

答案:169.1

解析:设这批米内夹谷约为x石,由题意结合古典概型计算公式,可得,

解得x=≈169.1.

15.空气质量按照空气质量指数大小分为七档(五级),相对应空气质量的七个类别,指数越大,说明污染的情况越严重,对人体危害越大.

现统计某市区10月至11月连续60天的空气质量指数,制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求这60天中属轻度污染的天数;

(2)求这60天空气质量指数的平均值;

(3)将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组,第二组,……第五组.从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天,记它们的空气质量指数分别为x,y,求事件|x-y|≤150的概率.

解:(1)依题意知,轻度污染即空气质量指数在151~200之间,共有0.003×50×60=9(天).

(2)由直方图知这60天空气质量指数的平均值为

=25×0.1+75×0.4+125×0.3+175×0.15+225×0.05=107.5.

(3)第一组和第五组的天数分别为60×0.1=6,60×0.05=3,

则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种,

由|x-y|≤150知两天只能在同一组中,而两天在同一组中的基本事件有18种,

用M表示|x-y|≤150这一事件,则P(M)=.

高考预测

16.为了了解某学段1 000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…;第五组[17,18].由上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.

(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在[16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到0.01秒);

(2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

解:(1)设前三组的频率依次为3x,8x,19x,则3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即x=0.02,

故第二组的频率为0.16,又第二组的频数为8,

所以抽取的学生总人数为=50,

由此可估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数为0.32×50=16.

设所求中位数为m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06,0.16,0.38,

则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,

解得m≈15.74.

故估计学生中百米成绩在[16,17)内的人数为16,

所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒.

(2)记“两个人成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.

由(1)可知从第一组抽取的人数为0.02×3×50=3,不妨记为a,b,c;

从第五组抽取的人数为0.08×50=4,不妨记为1,2,3,4.

则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34,共21种情况,

其中两个人的成绩的差的绝对值大于1秒是来自不同的组,共有12种情况.

故两个人的成绩的差的绝对值大于1秒的概率为.