高考数学一轮复习考点规范练57不等式选讲含解析新人教A版文

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考点规范练57　不等式选讲基础巩固1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)若∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.解:(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-;当-1<x<1时,1-x+x+1=2≥3不成立;当x≥1时,x-1+x+1=2x≥3,解得x≥.综上可得,f(x)≥3的解集为;(2)∃x∈R,使得f(x)<2成立,即有2>f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-2<a-1<2,解得-1<a<3.则实数a的取值范围为(-1,3).2.(2020全国Ⅱ,文23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=因此,不等式f(x)≥4的解集为.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).3.已知f(x)=+3|x-a|.(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.解:(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,①当x≤-时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,∴x≤-1;②当-<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解;③当x≥1时,3x+1+3(x-1)≥8,∴x≥.综上所述,f(x)≥8的解集为(-∞,-1]∪.(2)f(x)=+3|x-a|≥=≥2≥m.当且仅当=3a,即a=时,等号成立,故m的最大值为2.4.设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,证明:a≤-3或a≥-1.答案:(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)·(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.由题设知,解得a≤-3或a≥-1.5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且=m,求证:a+2b+3c≥9.答案:(1)解∵f(x+2)=m-|x|,∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明由(1)知=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)≥=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.能力提升6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)≤-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=则不等式f(x)≤-6等价于解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积为×4×3=6.∵f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,∴该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,∴×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,即a2≥12.又a<-2,∴a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-≤x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;综上,不等式f(x)≥-2的解集为.(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直线y=x-a时,联立解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.高考预测8.已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.(1)当a=-2时,解不等式f(x)>5;(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=由f(x)的单调性及f=f(2)=5,得f(x)>5的解集为.(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥.由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得,即a≥(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).故a的最小值为.