高考数学一轮复习考点规范练10幂函数与二次函数含解析新人教A版理

考点规范练10　幂函数与二次函数

基础巩固

1.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是(　　)

A.偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数

B.偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数

C.奇函数,且在区间(0,+∞)内是减函数

D.非奇非偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数

答案:D

解析:设幂函数f(x)=xa,则f(3)=3a=,解得a=,

则f(x)=,是非奇非偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数.

2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是(　　)

答案:D

解析:因为a>0,所以f(x)=xa在区间(0,+∞)内为增函数,故A不符合;

在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知0<a<1,矛盾,故B不符合;

在C中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知a>1,矛盾,故C不符合;

在D中,由f(x)的图象知0<a<1,由g(x)的图象知0<a<1,相符.

3.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:当x>0时,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;

当x<0时,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;

故f(x)的零点个数为2.故选B.

4.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是(　　)

A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a

C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a

答案:B

解析:5-a=

因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.

又<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.

5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(　　)

A.- B.- C.c D

答案:C

解析:由已知f(x1)=f(x2),且f(x)的图象关于x=-对称,

则x1+x2=-,

故f(x1+x2)=f=a-b+c=c.选C.

6.设,则使f(x)=xα为奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减的α的值的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:A

解析:由f(x)=xα在区间(0,+∞)内单调递减,可知α<0.

又因为f(x)=xα为奇函数,所以α只能取-1.

7.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是(　　)

A.[0,4] B C D

答案:D

解析:二次函数图象的对称轴的方程为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m

8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0对于一切x恒成立,则a的最小值是(　　)

A.0 B.2 C.- D.-3

答案:C

解析:由x2+ax+1≥0得a≥-在x上恒成立.

令g(x)=-,则g(x)在区间上为增函数,

所以g(x)max=g=-,所以a≥-

9.已知二次函数f(x)的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为　　　　　　　　　　. 

答案:f(x)=(x-2)2-1

解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2-1.

∵函数图象过点(0,1),∴4a-1=1.

∴a=f(x)=(x-2)2-1.

10.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为　　　　　. 

答案:2

解析:因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数,又是在区间(0,+∞)内的减函数,

所以解得m=2.

11.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为　　　　　.

答案:或-3

解析:由题意可知f(x)的图象的对称轴为x=-1.

当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.

可知f(2)>f(-3),

即f(x)max=f(2)=8a+1=4.

故a=

当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.

综上所述,a=或a=-3.

12.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是　　　　　. 

答案:(3,5)

解析:∵f(x)=(x>0),

∴f(x)是定义在区间(0,+∞)内的减函数.

又f(a+1)<f(10-2a),

解得

∴3<a<5.

能力提升

13.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则(　　)

A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0

答案:C

解析:∵f(x)图象的对称轴为x=-,f(0)=a>0,∴f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0,得-1<m<0,

∴m+1>0,

∴f(m+1)>f(0)>0.

14.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是(　　)

A.a≤1 B.a≥1 C.a D.a

答案:C

解析:∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在区间(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.

由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),

∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.

设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有

解得a故选C.

15.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.

其中正确的是(　　)

A.②④ B.①④ C.②③ D.①③

答案:B

解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.

对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.

结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.

由对称轴为x=-1知,b=2a.

又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.

16.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:(方法一)由|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.

所以6ab=2a·3b(2a+3b)2

且当2a=3b=±时,取得等号.

所以ab的最大值为

(方法二)由题设得

故

因此ab=(f(1)-f(0))f(0)

故ab的最大值为

高考预测

17.设甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;乙:0<a<1,则甲是乙成立的(　　)

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:当a=0时,得1>0,符合ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;

当a>0时,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1;

故0≤a<1,故甲是乙成立的必要不充分条件.