高考数学一轮复习考点规范练32数列求和含解析新人教A版理

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考点规范练32　数列求和基础巩固1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于(　　)A.n2+1- B.2n2-n+1-C.n2+1- D.n2-n+1-答案:A解析:该数列的通项公式为an=(2n-1)+,则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-2.数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则的前100项和为(　　)A B C D答案:D解析:∵an+1=a1+an+n,a1=1,∴an+1-an=1+n.∴an-an-1=n(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1==2的前100项和为2=2故选D.3.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=(　　)A.9 B.15 C.18 D.30答案:C解析:∵an+1-an=2,a1=-5,∴数列{an}是首项为-5,公差为2的等差数列.∴an=-5+2(n-1)=2n-7.∴数列{an}的前n项和Sn==n2-6n.令an=2n-7≥0,解得n∴当n≤3时,|an|=-an;当n≥4时,|an|=an.∴|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18.4.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 016等于(　　)A-1 B+1 C-1 D+1答案:C解析:由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=∴an=,S2016=a1+a2+a3+…+a2016=()+()+()+…+()=-1.5.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(　　)A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830答案:D解析:∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1,①当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+2-a2k+1=4k+1,②①+②得a2k+a2k+2=8k.则a2+a4+a6+a8+…+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=8(1+3+…+29)=8=1800.由②得a2k+1=a2k+2-(4k+1),∴a1+a3+a5+…+a59=a2+a4+…+a60-[4×(0+1+2+…+29)+30]=1800-=30,∴a1+a2+…+a60=1800+30=1830.6.已知在数列{an}中,a1=1,且an+1=,若bn=anan+1,则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)A B C D答案:B解析:由an+1=,得+2,∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,=2n-1,又bn=anan+1,∴bn=,∴Sn=,故选B.7.已知等差数列{an},a5=若函数f(x)=sin 2x+1,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为　　　　　. 答案:9解析:由题意,得yn=sin(2an)+1,所以数列{yn}的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+9.由a5=,得sin2a5=0.∵a1+a9=2a5=π,∴2a1+2a9=4a5=2π,∴2a1=2π-2a9,∴sin2a1=sin=-sin2a9.由倒序相加可得(sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9)=0,∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.8.在数列{an}中,a1=3,{an}的前n项和Sn满足Sn+1=an+n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=(-1)n+,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由Sn+1=an+n2,①得Sn+1+1=an+1+(n+1)2,②②-①,得an=2n+1.a1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)由(1)得bn=(-1)n+22n+1,所以Tn=b1+b2+…+bn=[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]+(23+25+…+22n+1)=(4n-1).9.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)由题意,得即解得故(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1++…+,①Tn=+…+②①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-10.已知Sn为数列{an}的前n项和,an>0,+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.解:(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3.两式相减可得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)·(an+1-an).由于an>0,可得an+1-an=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,故{an}的通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=11.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足=2Sn+n+4,a2-1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前3项.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=(-1)nlog2bn-,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)因为=2Sn+n+4,所以=2Sn-1+n-1+4(n≥2).两式相减,得=2an+1,所以+2an+1=(an+1)2.因为{an}是各项均为正数的数列,所以an+1=an+1,即an+1-an=1.又=(a2-1)a7,所以(a2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得a2=3,a1=2,所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=n+1.由题意知b1=2,b2=4,b3=8,故bn=2n.(2)由(1)得cn=(-1)nlog22n-=(-1)nn-,故Tn=c1+c2+…+cn=[-1+2-3+…+(-1)nn]-设Fn=-1+2-3+…+(-1)nn.则当n为偶数时,Fn=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(n-1)+n]=;当n为奇数时,Fn=Fn-1+(-n)=-n=设Gn=+…+,则Gn=+…+所以Tn=能力提升12.今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在这两个分点处分别标上1,如图①所示;第二次把两段半圆弧二等分,在这两个分点处分别标上2,如图②所示;第三次把4段圆弧二等分,并在这4个分点处分别标上3,如图③所示.如此继续下去,当第n次标完数以后,这个圆周上所有已标出的数的总和是　　　　　. 答案:(n-1)×2n+2解析:由题意可得,第n次标完后,圆周上所有已标出的数的总和为Tn=1+1+2×2+3×22+…+n×2n-1.设S=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,则2S=2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,两式相减可得-S=1+2+22+…+2n-1-n×2n=(1-n)×2n-1,则S=(n-1)×2n+1,故Tn=(n-1)×2n+2.13.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n+1·n(n∈N*),求数列{an·bn}的前n项和Tn.解:(1)设等比数列{an}的公比为q.由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,可得2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即2(S3+a4+2a5)=2S3+a3+2a4,即4a5=a3,则q2=,解得q=±由等比数列{an}不是递减数列,可得q=-,故an==(-1)n-1(2)由bn=(-1)n+1·n,可得an·bn=(-1)n-1(-1)n+1·n=3n故前n项和Tn=3,则Tn=3,两式相减可得,Tn=3=3,化简可得Tn=614.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-λ(λ>0,n∈N*).(1)证明:数列{an}为等比数列,并求an;(2)若λ=4,bn=(n∈N*),求数列{bn}的前2n项和T2n.答案:(1)证明∵Sn=2an-λ,当n=1时,得a1=λ,当n≥2时,Sn-1=2an-1-λ,则Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴数列{an}是以λ为首项,2为公比的等比数列,∴an=λ·2n-1.(2)解∵λ=4,∴an=4·2n-1=2n+1,∴bn=∴T2n=22+3+24+5+26+7+…+22n+2n+1=(22+24+26+…+22n)+(3+5+…+2n+1)==+n(n+2),∴T2n=+n2+2n-高考预测15.在等差数列{an}中,公差d≠0,a10=19,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求an;(2)设bn=an2n,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)∵a1,a2,a5成等比数列,=a1·a5,即(a1+d)2=a1·(a1+4d).又a10=19=a1+9d,∴a1=1,d=2.∴an=2n-1.(2)∵bn=an2n=(2n-1)·2n,∴Sn=2+3×22+…+(2n-1)·2n.①∴2Sn=22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1.②由①-②,得-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1=2+2-(2n-1)·2n+1=(3-2n)·2n+1-6.即Sn=(2n-3)2n+1+6.