高考数学一轮复习考点规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析新人教A版理

考点规范练57　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础巩固

1.景区中有一座山,山的南面有2条道路,山的北面有3条道路,均可用于游客上山或下山,假设没有其他道路,某游客计划从山的一面走到山顶后,接着从另一面下山,则不同走法的种数是(　　)

A.6 B.10 C.12 D.20

答案:C

解析:先确定从哪一面上山,有两种选择,再选择上山与下山道路,可得不同走法的种数是2×2×3=12.故选C.

2.现有四种不同的颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有(　　)

A.24种 B.30种 C.36种 D.48种

答案:D

解析:按A→B→C→D顺序分四步涂色,共有4×3×2×2=48(种).

3.有a,b,c,d,e共5人,从中选1名组长和1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是(　　)

A.20 B.16 C.10 D.6

答案:B

解析:当a当组长时,则共有1×4=4(种)选法;当a不当组长时,又因为a也不能当副组长,则共有4×3=12(种)选法.因此共有4+12=16(种)选法.

4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则首位为2的“六合数”的个数为(　　)

A.18 B.15 C.12 D.9

答案:B

解析:由题意知,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数,分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数,分别为211,121,112,共有3+6+3+3=15(个).

5.将3张不同的电影票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是(　　)

A.2 160 B.720 C.240 D.120

答案:B

解析:分步来完成此事.第1张电影票有10种分法;第2张电影票有9种分法;第3张电影票有8种分法,共有10×9×8=720(种)分法.

6.已知集合M={1,-1,2},N={-3,4,6,-8},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为(　　)

A.18 B.16 C.14 D.12

答案:C

解析:分两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有1×2=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有2×2=4(个).

故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.

7.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4名朋友,每名朋友1本,则不同的赠送方法共有(　　)

A.4种 B.10种 C.18种 D.20种

答案:B

解析:分两类:第一类赠送1本画册,3本集邮册,需从4人中选取一人赠送画册,其余送集邮册,有种方法.

第二类赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人送画册,其余2人送集邮册,有种方法.

由分类加法计数原理,不同的赠送方法有=10(种).

8.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有(　　)

A.16种 B.18种 C.37种 D.48种

答案:C

解析:三个班去四个工厂,不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37(种).

9.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有　　　　　种. 

答案:24

解析:分步完成,首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,故甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2=24(种).

10.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是　　　　　. 

答案:36

解析:另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;…;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.

所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

11.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成　　　　　个不同的解析式. 

答案:180

解析:分三步完成,第一步任取一个数为a,由于a不为零有6种方法;第二步从剩余的6个数中任取一个数为b有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c有5种取法,由分步乘法计数原理得,共有6×6×5=180(个)不同的解析式.

12.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是　　　　　. 

答案:20

解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,

第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231);

第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种;

第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种;

根据分类加法计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.

能力提升

13.某校开设8门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为(　　)

A.30 B.40 C.90 D.140

答案:B

解析:因为A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,所以可分两类,

第一类,A,B,C三门课都不选,有=10(种)方案;

第二类,A,B,C中选一门,剩余5门课中选2门,有=30(种)方案.

故根据分类计数原理知共有10+30=40(种)方案.

14.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花(　　)

A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元

答案:D

解析:从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选1个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320(种)选法,故至少需花4320×2=8640(元).

15.把2支相同的签字笔、3支相同的钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有(　　)

A.24种 B.28种 C.32种 D.36种

答案:B

解析:第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上,有4种分法,再将剩余的2支钢笔、1支签字笔分给剩余的3名学生,有3种分法,共有3×4=12(种);

第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况的分法有:先将两支签字笔分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共有4×1=4(种);

第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法有:先将两支钢笔分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,共有3×4=12(种).

综上所述,总共有12+4+12=28(种)分法.

16.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则五位回文数有　　　　　个. 

答案:900

解析:第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;

第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;

第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法.

故五位回文数有9×10×10=900(个).

17.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有　　　　　个. 

答案:17

解析:当A={1}时,B有23-1=7(种)情况;

当A={2}时,B有22-1=3(种)情况;

当A={3}时,B有1种情况;

当A={1,2}时,B有22-1=3(种)情况;

当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.

故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).

高考预测

18.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　)

A.24 B.18 C.12 D.6

答案:B

解析:三位数可分成两类,第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有3×2×2=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有3×2×1=6个.故由分类加法计数原理,可知共有12+6=18(个).故选B.