高考数学一轮复习考点规范练66不等式选讲含解析新人教A版理

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考点规范练66　不等式选讲基础巩固1.已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以,a的取值范围是[1,+∞).2.(2020全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.答案:证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-(a2+b2+c2)<0.(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由bc≤,可得abc≤,故a≥,所以max{a,b,c}≥.3.(2020全国Ⅰ,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解:(1)由题设知f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当x<-时,y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方.故不等式f(x)>f(x+1)的解集为.4.(2019全国Ⅲ,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2成立,证明:a≤-3或a≥-1.答案:(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)·(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为由题设知,解得a≤-3或a≥-1.5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且=m,求证:a+2b+3c≥9.答案:(1)解∵f(x+2)=m-|x|,∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明由(1)知=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.能力提升6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)≤-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=则不等式f(x)≤-6等价于或解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积为4×3=6.∵f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,∴该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,即a2≥12.又a<-2,∴a≤-2故实数a的取值范围是(-∞,-2].7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;综上,不等式f(x)≥-2的解集为(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直线y=x-a时,联立解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.高考预测8.已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.(1)当a=-2时,解不等式f(x)>5;(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=由f(x)的单调性及f=f(2)=5,得f(x)>5的解集为(2)由f(x)≤a|x+3|得a由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得,即a(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).故a的最小值为