2021-2022学年北京市海淀区清华附中上地学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市海淀区清华附中上地学校七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列实数，，相邻两个之间依次多一个，，，中，无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 如图，直线，被所截，交点分别是点，点，则与是

A. 同位角
B. 内错角
C. 同旁内角
D. 邻补角

5. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是
    

A.  B.  C.  D.

6. 如图，若，相交于点，过点作，则下列结论不正确的是

A. 与互为余角 B. 与互为余角
C. 与互为补角 D. 与是对顶角

7. 如图所示，，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

8. 已知方程组的解也是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，点在点的右侧且，则点所表示的数为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在一个单位为的方格纸上，，，，，是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的纵坐标为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共13小题，共44分）

11. 的立方根是______．
12. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______．
13. 若是某个二元一次方程的一个解，则该方程可能是______请写出满足条件的一个答案即可．
14. 如图，已知，则图中互相平行的线段是______．
    
     

15. 用一组，，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是______，______，______．
16. 如图，，交于，，，则______
    
     

17. 九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图，图所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似地，图所示的算筹图可以表述为______．

18. 在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”请写出点的“关联点”的坐标______；如果点的关联点坐标为，则点的坐标为______．
19. 若，则的值为______．
20. 如图，已知，平分，平分，，，则的度数为______．

21. 为负整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为______．
22. 关于的不等式组的整数解是，，，，则的取值范围是______．
23. 在平面直角坐标系中，如果点满足且，则称点为“自大点”；如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．
    判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称______；
    ，，，
    如果点不是“自大点”，求出的取值范围．
    如图，正方形的初始位置是，，，，现在正方形开始以每秒个单位长的速度向下轴负方向平移，设运动时间为秒，请直接写出当正方形成为“自大忘形”时，的取值范围：______．

三．解答题（本题共8小题，共46分）

24. 计算：．
25. 解方程组：
26. 求不等式组的整数解．
27. 如图，，，求证：．
    
     

28. 如图，已知点，点，点．
    求的面积．
    将平移，使得点与点重合，得到，点，的对应点分别是点，，画出平移后的，并写出点和点的坐标．

29. 在某官方旗舰店购买个冰墩墩和个雪容融毛绒玩具需元；购买个冰墩墩和个雪容融毛绒玩具需元．
    求冰墩墩、雪容融毛绒玩具单价各是多少元？
    某单位准备用不超过元的资金在该官方旗舰店购进冰墩墩、雪容融两种毛绒玩具共个，问最多可以购进雪容融毛绒玩具多少个？
30. 如图，直线，直线与，分别交于点，，小安将一个含角的直角三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
    填空； ______填“”“”或“”；
    若的平分线交直线于点，如图．
    当，时，求的度数；
    小安将三角板沿直线左右移动，保持，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数用含的式子表示．

31. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，同时将点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，的对应点依次为点，，连接，，．
    直接写出点，的坐标，并求出平行四边形的面积；
    点是坐标轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的平方根是，
故选：．
利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的意义解答是解题是关键．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限： ， ；第二象限： ， ；第三象限： ， ；第四象限： ， ；是基础知识要熟练掌握．
横坐标小于 ，纵坐标大于 ，则这点在第二象限．
【解答】
解： ， ，
点 在第二象限，
故选： ．   

3.【答案】

【解析】解：是分数，属于有理数；
、是整数，属于有理数；
无理数有，相邻两个之间依次多一个，，共有个．
故选：．
根据无理数、有理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

4.【答案】

【解析】解：如图所示，两条直线、被直线所截形成的角中，与都在直线、之间，并且在直线的两旁，所以与是内错角．
故选：．
根据内错角，同位角，同旁内角，邻补角的定义解答即可．
本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
则，
由数轴知，
，
解得，
故选：．
解不等式得出，结合数轴知，据此得出，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】

【解析】解：、与互余，说法正确；
B、与互余，说法正确；
C、与互补，说法错误，
D、与是对顶角，说法正确；
故选：．
根据可得，再根据对顶角相等可得，然后根据余角定义、补角定义和对顶角定义进行分析即可．
此题主要考查了余角和补角以及对顶角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
 

7.【答案】

【解析】解：，
．
，
．
故选：．
先利用平行线的性质求出，再利用邻补角求出．
本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，得，
把代入，得，
把，代入，得
，
，
故选：．
，得，把代入，得，把，代入，得．
本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：面积为的正方形为，
，
，
，
点表示的数为，
点表示的数为，
故选：．
因为面积为的正方形边长为，所以，而，得，点的坐标为，故E点的坐标为．
本题考查了与数轴有关的问题，关键是结合题意求出．
 

10.【答案】

【解析】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形，
各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
，，，，，，
，
点在第四象限，横坐标为，纵坐标是，
故选：．
根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，且点都在点的下方，然后按照规律即可求解．
本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：的立方根是．
故答案为：．
立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．
考查了立方根的定义，注意正数的立方根是正数，的立方根是，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意得：
，
，
故答案为：．
根据轴上的点纵坐标为，进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握轴上的点纵坐标为是解题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：，
故答案为：答案不唯一．
算的值即可列出二元一次方程．
本题考查了二元一次方程的解，掌握一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据平行线的判定定理即可得出结论．
本题考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：当，，时，，而，
命题“若，则”是错误的，
故答案为：；；答案不唯一；
根据题意选择、、的值即可．
本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质求出，根据三角形外角性质求出，代入求出即可．
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的运用．解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
 

17.【答案】

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
观察图，根据图中各行的算筹数，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】；或

【解析】解：，根据关联点的定义，
，
点的“关联点”的坐标；
点的关联点坐标为，
或，
即或，
解得或，
点的坐标为或．
故答案为：；或．
根据关联点的定义，可得答案．
本题主要考查了点的坐标，理清“关联点”的定义是解答本题的关键．
19.【答案】

【解析】解：要使有意义，必须且，
解得：，
当时，，
所以



，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出且，求出，再求出，最后代入求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和求代数式的值，能根据二次根式有意义的条件得出和是解此题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
先根据角平分线的定义，得出，，再根据三角形内角和定理，推理得出，进而求得的度数．
此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：方程组可得，
，
该方程组有整数解，
是和的公约数，且为负整数，
，
解得，
故答案为：．
先解该方程组，再讨论符合条件的值．
此题考查了方程组的解相关问题的解决能力，关键是能准确运用相关知识进行求解、讨论．
 

22.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组的整数解为，，，，，
，
解得：．
故答案为：．
不等式组整理后，根据整数解确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

23.【答案】，  或

【解析】解：点满足且，则称点为“自大点”，
，满足，
，，故不是“自大点”，
，，故是“自大点”，
，，故是“自大点”，
，，故不是“自大点”，
故答案为：，；
如果点是“自大点”，
则，
解得，，
故当或时，点不是“自大点”，
的取值范围是或；
正方形的初始位置是，，，，
平移之后的坐标分别为，，，，
当点平移后的点是“自大点时”，，
解得，，
故A点平移后的点不是“自大点时”，或，
同理，当点和点平移后的点不是“自大点时”，或，
同理，当点平移后的点不是“自大点时”，或，
当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，或，
故答案为：或．
根据点满足且，则称点为“自大点”，，满足，根据关系式逐个判断即可；
先求出点是“自大点”时的取值范围，再求点不是“自大点”时的取值范围即可；
根据“自大点”的纵横坐标满足的关系列出关系式求出的范围即可．
本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．
 

24.【答案】解：原式
．

【解析】本题涉及三次根式、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三次根式、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

25.【答案】解：原方程组化简整理得：，
，得，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．

【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

26.【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为．
不等式组的整数解为、．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

27.【答案】证明：，
，
，
，
．

【解析】根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

28.【答案】解：的面积为：

；

如图所示：即为所求，，．

【解析】直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
 

29.【答案】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价是元，雪容融毛绒玩具的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：冰墩墩毛绒玩具的单价是元，雪容融毛绒玩具的单价是元．
设购进雪容融毛绒玩具个，则购进冰墩墩毛绒玩具个，
依题意得：，
解得：．
答：最多可以购进雪容融毛绒玩具个．

【解析】设冰墩墩毛绒玩具的单价是元，雪容融毛绒玩具的单价是元，利用总价单价数量，结合“购买个冰墩墩和个雪容融毛绒玩具需元；购买个冰墩墩和个雪容融毛绒玩具需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进雪容融毛绒玩具个，则购进冰墩墩毛绒玩具个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

30.【答案】

【解析】解：过点作，

，
，
，
，
，
故答案为：
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
点在的右侧时，如图，

，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，

，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或
过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
 

31.【答案】解：如图所示：

点，的坐标分别为，，
，
根据平移，可知，，
平行四边形的面积；
，
当点在轴上，设，
则，
，
解得或，
或；
当点在轴上，设，
延长交轴于点，如图所示：

设的解析式：，
代入，点坐标，
得，
解得，
的解析式：，
，
则，
，
解得或，
或；
综上，点的坐标为或或或．

【解析】根据平移即可求出点，的坐标，进一步求面积即可；
根据题意，得，分情况讨论：点在轴上，点在轴上，分别求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，涉及平移的性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．