2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若的三边长分别为、、，下列条件中能判断是直角三角形的有
   ，：：：：，，，，：：：：．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 点在第二象限，它到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 以下列各组数为三角形的三条边长：，，；，，；；，，其中能构成直角三角形的有

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

5. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是

A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等

6. 下列说法正确的有
   对角线互相平分的四边形是平行四边形
   对角线相等的四边形是矩形
   对角线互相垂直的四边形是菱形
   对角线相等的平行四边形是矩形
   对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 如图，一根木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，当木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行时，的中点到点的距离

A. 变大
B. 变小
C. 先变小后变大
D. 不变

8. 如图，下列条件之一能使平行四边形是菱形的为
   ；；；．

A.  B.  C.  D.

9. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，是的中点，平分，则下列说法正确的有
   ；平分；≌；；．

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发以个单位的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以个单位的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

11. 若一个多边形的每个外角都等于，则它的内角和等于______．
12. 将点向右平移个单位得到点，点与点关于轴对称，则的坐标是______．
13. 已知菱形的面积为，若对角线，则这个菱形的边长为______ ．
14. 如图，每个小正方形的边长为，在中，点为的中点，则线段的长为______．
    
     

15. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于______．
     

16. 如图，的对角线、交于点，点是的中点，的周长为，则的周长是______．
     

17. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为______．

18. 如图，中，，，点，，分别是边，，的中点；点，，分别是边，，的中点；以此类推，则的周长是______．
    
     

三．解答题（本题共8小题，共66分）

19. 某多边形的内角和与外角和的总和为，求此多边形的边数；
    某多边形的对角线共有条，求这个多边形的内角和．
20. 如图，，，，，．
    求的长度；
    作，并求的面积．

21. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的；
    画出关于原点成中心对称的；
    求的面积．

22. 如图所示，在平行四边形中，点、是对角线上两点，且则吗？为什么？

23. 已知，如图，的中线，相交于点，，分别是，的中点．求证：
    四边形是平行四边形；
    ，．
     

24. 在▱中，过点作于点，点在上，，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    若平分，且，，求矩形的面积．

25. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
     

求证：四边形是菱形；

若，，求的长．

26. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    若，，求的长；
    当时，求的度数．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
是直角三角形；
：：：：，
，
，不是直角三角形；
，
，
，
，
是直角三角形；
，
，
，是直角三角形；
，
，
，是直角三角形；
：：：：，
，
，是直角三角形；
故选：．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了三角形内角和定理，勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 

3.【答案】

【解析】解：点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，
点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标是．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，，所以，不能构成直角三角形；
，，所以，能构成直角三角形；
，，所以，不能构成直角三角形；
，，所以，能构成直角三角形；
能构成直角三角形的是．
故选：．
欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、 注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】
解： 一个锐角和斜边对应相等，正确，符合 ，
B. 两条直角边对应相等，正确，符合判定 ；
C. 不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D. 斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定 ．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意．
对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．
对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．
对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，符合题意，
说法正确的有个，
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】

【解析】解：连接．
在中，，，
．
的长是定值，
是定值，
故选：．
根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边中线等于斜边一半．
 

8.【答案】

【解析】解：▱中，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱是菱形；故正确；
▱中，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱是矩形，而不能判定▱是菱形；故错误；
▱中，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱是菱形；故正确；
D、▱中，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱是矩形，而不能判定▱是菱形；故错误．
故选：．
菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：延长交的延长线于点，如图所示：

，
，
，
故选项符合题意；
，，
是的中点，
，
≌，
，，
平分，
，
，
，
，
，
故选项符合题意，
，，
，，
平分，
故、选项符合题意；
和的大小关系不确定，
故选项不符合题意，
综上可知，正确的有，
故选：．
延长交的延长线于点，易证≌，，，根据角平分线的性质进一步可得是等腰三角形，然后进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线等，构造全等三角形≌是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：当在上时，四边形不能构成平行四边形，不合题意；
当在上时，
设运动时间为秒，则，，
根据题意得到，
解得：，
故选：．
首先利用表示出和的长，根据四边形是平行四边形时，据此列出方程求解即可．
本题考查了平行四边形的性质及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出和的长，难度不大．
 

11.【答案】

【解析】解：设多边形的边数为，
多边形的每个外角都等于，
，
这个多边形的内角和．
故答案为：．
由一个多边形的每个外角都等于，根据边形的外角和为计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可．
本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和；也考查了边形的外角和为．
 

12.【答案】

【解析】解：将点向右平移个单位得到点，

点与点关于轴对称，
的坐标是：．
故答案为：．
直接利用平移的性质得出的坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了平移的性质以及关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：菱形的面积，
菱形的面积是，其中一条对角线长，
另一条对角线的长；
边长是：．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长．然后根据勾股定理即可求得边长．
本题考查了菱形的性质．菱形被对角线分成个全等的直角三角形，以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．
 

14.【答案】

【解析】解：观察图形
，，
，
为直角三角形，
点为的中点，
．
故答案为：．
本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解．
解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半．注意勾股定理的应用．
 

15.【答案】

【解析】解：矩形沿对角线对折，使落在的位置，
，，
又四边形为矩形，
，
，
而，
在与中，
，
≌，
；
四边形为矩形，
，，
≌，
，
设，则，，
在中，，即，解得，
则．
故答案为：
根据折叠的性质得到，，易证≌，即可得到结论；易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
 

16.【答案】

【解析】解：为中点，四边形是平行四边形，
，，，
，
的周长为，
，
的周长是，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，，，求出，求出的周长是，代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出，，．
 

17.【答案】

【解析】解：连接B、，如图：
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
、两个正方形阴影部分的面积是，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
把这样的个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为．
故答案为：
根据题意作图，连接，，可得≌，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中．
 

18.【答案】

【解析】解：中，，，，
的周长是，
，，分别是边，，的中点，
，，分别等于、、的一半，
的周长是，
同理，的周长是，
，
以此类推，的周长是，
的周长是．
故答案是：．
由三角形的中位线定理得：，，分别等于、、的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推，利用规律可求出的周长．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

19.【答案】解：根据题意得：
，
解得．
所以此多边形的边数是；

一个边形有条对角线，依题意有：
，
解得：或舍去．
这个多边形内角和．

【解析】任何多边形的外角和是，内角和与外角和的总和为，因而内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
多边形对角线有公式为，代入公式求出边数，根据内角和公式可求出答案．
本题考查了多边形对角线公式以及多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

20.【答案】解：在中，，，，
：：，
；
如图，过点作于点，

，
设，则，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
，
解得，，
，
，
．

【解析】在中，利用勾股定理可直接求得的长；
分别在和中，利用勾股定理表达，建立等式，求出的长，进而求出的面积．
本题主要考查勾股定理，设出未知数，利用勾股定理建立等式求解是常见解题方法．
 

21.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

的面积．

【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、关于轴的对称点、、的坐标，然后描点即可得到；
利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、关于轴的对称点、、的坐标，然后描点即可得到；
利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出的面积．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

22.【答案】解：，
证明：在平行四边形中，则，，
又，
≌，
，
同理，
四边形是平行四边形，
．

【解析】通过三角形全等得出与，即四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
 

23.【答案】证明：，是的中线，
是的中位线，
且，
，分别是，的中点，
是的中位线，，，
且，
且，
四边形是平行四边形．
由得：四边形是平行四边形，
，，
，，
，．

【解析】证明是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理即可得出，，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出对角线互相平分，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
，
，
平分，
，
，
，
在中，，，
，
矩形的面积为．

【解析】根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可判定．
首先证明，求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
 

25.【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．

【解析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，
判断出是解本题的关键．
先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
 

26.【答案】证明：过点作于，于，如图，

四边形为正方形，
．
，，
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形．
解：如图，
在中，，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，
．
解：当时，
，
，
．
，
．

【解析】作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
根据角之间的关系解答即可．
本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．