2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中既不是轴对称也不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 如果边形的内角和是它外角和的倍，则等于

A.  B.  C.  D.

3. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形
 

5. 如图，的对角线交于点，且，的周长为，则的两条对角线之和是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是平分线上的点，于点，于点则下列结论：；；与的面积相等；其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，矩形纸片中，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

9. 一个直角三角形两条直角边的比是：，斜边长为，那么这个直角三角形面积为______．
10. 若的三边长分别是、、，则最长边上的中线长为______ ．
11. 已知是菱形的对角线与的交点．，，那么的周长等于______．
12. 如图，中，，，是的角平分线，______度．
    
     

13. 如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为______．

14. 如图，在与中，已知，为了使≌，需添加的条件是______不添加字母和辅助线．
15. 如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸单位：，计算两圆孔中心和的距离为______．
    
     

16. 正方形的边长为，顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形，，以此类推，则第六个正方形的周长为______，第个正方形周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

17. 如图，四边形的对角线，交于点，，，求证：四边形是平行四边形．
18. 已知、、满足．
    求、、的值；
    判断以、、为边的三角形的形状．
19. 如图，、、分别是三边中点，于．
    求证：；
    ．
     

20. 已知：如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，．
    求证：是的平分线．
21. 如图，在中，，，垂足为，过点作，且，连接，交于点，连接．
    求证：四边形为矩形；
    若，求的长．
    
     

22. 我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的直至算法统宗里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高．这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．
23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
    求证：≌；
    证明四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
    求证：；
    四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
    当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】

【解析】解：多边形的外角和是，根据题意得：
，
解得．
故选：．
利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个边形的内角和是其外角和的倍列出方程求解即可．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

3.【答案】

【解析】解：、；符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
B、；符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
C、；符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
D、；不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形．
故选：．
运用勾股定理的逆定理进行验证，从而得到答案．
考查了勾股定理的逆定理，要判断三个数能否组成直角三角形的条件是看是否符合勾股定理的逆定理，即．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】
解： 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 是平行四边形，当 时，它是菱形，故 A 选项正确；
B 、 四边形 是平行四边形，设 和 交于 点， ， ， ， ，
， 四边形 是菱形，故 B 选项正确；
C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确；
D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误；
综上所述，符合题意是 选项；
故选： ．   

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题．
由平行四边形的性质得出 ， ， ，由三角形的周长求出 ，即可得出结果．
【解答】
解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
的周长为 ，
，
的两条对角线的和 ．
故选 C ．   

6.【答案】

【解析】解：是平分线上的点，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
故选项符合题意，
≌，
与的面积相等，
故选项符合题意；
≌，
，
，
，
故选项符合题意；
综上可知，均符合题意，
故选：．
根据已知条件，可得≌，根据全等三角形的性质即可判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
利用等边三角形的性质可得，，再利用含度角的直角三角形的性质进行计算即可．
此题主要考查了等边三角形的性质和含度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题利用了： 折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 全等三角形的判定和性质，勾股定理求解．
由折叠的性质可证 在 中，由勾股定理求 的长．
【解答】
解：由折叠的性质知， ，
≌ ，
， ，
在 中，由勾股定理得， ．
故选： ．   

9.【答案】

【解析】解：一个直角三角形两条直角边的比是：，
设两条直角边分别为，，
根据勾股定理得，，
，
两条直角边分别为和，
这个直角三角形面积为，
故答案为：．
根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
是直角三角形，斜边的长度是，
最长边斜边上的中线长为，
故答案为：。
先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可。
本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线性质，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

11.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
的周长，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．过点 作 于 点，根据角平分线性质可得 ，从而 ，则 ，可知 ，再利用角平分线的定义可求 度数．
【解答】
解：过点 作 于 点，

是 的角平分线， ， ，
．
，
．
．
，
．
．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：，，
，
，，
，
，
故答案为：．
利用三角形中位线定理求出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用勾股定理求出即可．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是求出的长，再利用勾股定理求解．
 

14.【答案】答案不唯一

【解析】解：，，
再添加：，
≌，
，，
再添加：，
≌，
，，
再添加：，
≌，
，，
再添加：，
≌，
故答案为：答案不唯一．
根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据图形标出的长度，可以知道和的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边和的距离．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：顺次连接正方形四边的中点得正方形，则得正方形的面积为正方形面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即，则周长是原来的；
顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，则周长是原来的；
以此类推，第六个正方形的周长是原来的，第个正方形周长是原来的．
正方形的边长为，周长为，
第六个正方形的周长是原来的，第个正方形周长为．
故答案为：，．
根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点得正方形的面积为正方形面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形的周长．
本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．
 

17.【答案】证明：在和中
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形．

【解析】利用全等三角形的判定方法得出≌，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出≌是解题关键．
 

18.【答案】解：根据题意得：，，，
解得：，，；
，
，
以、、为边的三角形是直角三角形．

【解析】根据非负数的性质可求出、、的值；
利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

19.【答案】证明：、分别是、边中点，
是的中位线，
，，
；
于，是的中点，
，
．

【解析】根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质证明结论；
根据直角三角形的性质得到，等量代换证明结论．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

20.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
是上一点，，，
是的平分线．

【解析】利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为矩形；
解：由得：四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
由等腰三角形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，结合，即可得出结论；
由矩形的性质得，再证≌，得．
 

22.【答案】解：设绳索有尺长，则
，
解得：．
答：绳索长尺．

【解析】设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
 

23.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，

≌；
证明：由知，≌，则．
为边上的中线
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形；
连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
．

【解析】利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；
由可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；
连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
 

24.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
；

解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，▱是菱形；

当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形．

【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．