高考数学一轮复习考点规范练59正态分布含解析新人教版

考点规范练59　正态分布

一、基础巩固

1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是(　　)

A.E(X)=1 B.D(X)=0.4

C.P(X>1)=0.5 D.D(X)=0.16

答案:B

解析:因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),

所以μ=1,σ=0.4,

所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.

2.(多选)(2021河北沧州模拟)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近

D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158 65

答案:ACD

解析:由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误.

由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确.

若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.5-0.6827=0.15865,故D正确.

故选ACD.

3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(　　)

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

A.该校学生每周平均阅读时间为9 h

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4

C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3%

D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214

答案:AD

解析:因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.

因为P(3≤X≤15)≈0.9973,

所以P(X≤3)=0.00135,

所以该校学生每周阅读时间不超过3h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.

因为P(5≤X≤13)≈0.9545,所以P(3≤X≤5)=[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.0214,

所以每周阅读时间在3~5h的人数约为10000×0.0214=214,故D正确.

4.(2021辽宁锦州一模)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

答案:D

解析:因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,

所以P(X≥5)=P(X≤-1).

又X~N(μ,σ2),所以μ==2.

5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制　　　　　套. 

答案:1 359

解析:因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.6827,

P(162≤X≤182)≈0.9545,

所以P(177≤X≤182)=[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.1359.

所以适合身高在177~182cm的员工的工作服大约要定制10000×0.1359=1359(套).

6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为　　　　　. 

答案:

解析:因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=,所以P(X>700)=[1-P(500≤X≤700)]=

所以所求概率为1-

7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生.

(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;

(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.

解:(1)因为X~N(80,σ2),

所以P(X>85)=P(X<75)=0.3,

所以P(80<X<85)=0.5-P(X>85)=0.2,P(95<X<100)=P(X>95)=0.1,

P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.2.

故所求概率P=0.2×0.2×0.1=0.024.

(2)因为X~N(80,σ2),P(80<X<85)=0.2,

所以P(75<X<85)=2P(80<X<85)=0.4.

由题意知Y~B(3,0.4),

则P(Y=0)=0.63=0.216,

P(Y=1)=0.4×0.62=0.432,

P(Y=2)=0.42×0.6=0.288,

P(Y=3)=0.43=0.064.

故Y的分布列为

E(Y)=3×0.4=1.2.

二、综合应用

8.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率分布密度函数为f(x)=,则下列说法正确的是(　　)

A.该地水稻的平均株高为100 cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻,其株高在区间(80,90)和(100,110)的概率相等

答案:AC

解析:由题意可知μ=100,σ=10,所以该地水稻的平均株高为100cm,该地水稻株高的方差为100.故A正确,B错误.

因为X~N(100,102),

所以P(90≤X≤110)≈0.6827,P(80≤X≤120)≈0.9545,P(70≤X≤130)≈0.9973.

所以P(X>120)=[1-P(80≤X≤120)]≈0.02275,

P(X<70)=[1-P(70≤X≤130)]≈0.00135,

P(80<X<90)=[P(80≤X≤120)-P(90≤X≤110)]≈0.1359,

P(100<X<110)=P(90≤X≤110)≈0.34135.

所以株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大,株高在区间(80,90)和(100,110)的概率不相等.

故C正确,D错误.

9.在某次数学摸底考试中,学生的成绩X近似服从正态分布N(100,σ2),若P(X>120)=a,P(80<X<100)=b,直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切,则直线l的方程为　　　　　　　. 

答案:x+y+2=0

解析:由题意可知P(X<100)=,P(X≤80)=P(X>120)=a,

因为P(X≤80)+P(80<X<100)=P(X<100),

所以a+b= ①

因为直线l:ax+by+=0与圆C:x2+y2=2相切,

所以,即a2+b2= ②

由①②解得a=b=

所以直线l的方程为x+y+=0,即x+y+2=0.

10.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件连接而成,连接方式如图所示.若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),则这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为　　　　　台. 

答案:375

解析:因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10000,102),

所以三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率均为

由题意可知该部件的使用寿命超过10000小时的概率为

所以这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的均值为1000=375(台).

11.随着5G商用进程的不断加快,越来越多的人选择使用5G手机.某科技公司为了给自己新推出的5G手机定价,随机抽取了100人进行调查,对其在下一次更换5G手机时,能接受的价格(单位:元)进行了统计,所得结果如下表.已知这100人能接受的价格都在区间[1 000,3 500)内,并且能接受的价格的平均值为2 350元(同一组数据用该组区间的中点值代替).

(1)现用分层随机抽样的方法从第一、二、三组中随机抽取6人,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2人,求其中恰有1人能接受的价格不低于2 000元的概率;

(2)若人们对5G手机能接受的价格X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数,σ2为样本方差s2,求P(2 350<X<2 974).

附:6.24,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.

解:(1)由题意可知

即

解得

所以利用分层随机抽样的方法抽取的6人中,第一、二、三组的人数分别为1,2,3.

所以恰有1人能接受的价格不低于2000的概率P=

(2)由题意可知μ==2350,

σ2=s2=0.1×(1250-2350)2+0.2×(1750-2350)2+0.3×(2250-2350)2+0.2×(2750-2350)2+0.2×(3250-2350)2=390000,

所以σ=100624,

故P(2350<X<2974)=P(1726<X<2974)0.6827=0.34135.

三、探究创新

12.某人每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的质量(单位:g)服从均值为1 000,标准差为50的正态分布.

(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为X,求X的分布列和均值;

(2)为判断面包师有没有撒谎,他每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如表,经计算,25个面包的总质量为24 468 g.

购买的25个面包质量的统计数据(单位:g):

尽管上述数据都落在区间(950,1 050)内,但他还是认为面包师撒谎.根据所附信息,从概率角度说明理由.

附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~N;

②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;

③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.

解:(1)由题意知,从面包师出售的面包中任取一个,其质量大于1000g的概率为,X~B,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

故X的分布列为

E(X)=2=1.

(2)依题意,假设面包师没有撒谎,则面包师出售的面包的质量Y(单位:g)服从正态分布N(1000,502).

根据附①,可知从面包师出售的面包中任取25个,其平均质量Z(单位:g)服从正态分布N(1000,102).

故P(980≤Z≤1020)≈0.9545,P(Z<980)=0.02275<0.05,

即事件“抽取的25个面包的平均质量小于980g”为小概率事件.

而购买的25个面包的总质量为24468g,平均质量为978.72g,小于980g,

即小概率事件发生,故认为假设不成立,即认为面包师撒谎.