高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性含解析新人教A版文

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固

1.函数f(x)=-x的图象关于(　　)

A.y轴对称 B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称 D.直线y=x对称

答案:C

解析:∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.

2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)内单调递增的是(　　)

A.y=x2 B.y=2|x|

C.y=log2 D.y=sin x

答案:C

解析:函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数.故选C.

3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

答案:D

解析:因为y=x4+1(x>0)的值域为(1,+∞),且y=cos2x(x≤0)的值域为[-1,1],

所以f(x)的值域为(1,+∞)∪[-1,1]=[-1,+∞).

故选D.

4.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5 C.-1 D.-5

答案:B

解析:令g(x)=f(x)+x,

由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.

又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.

5.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)

A.e-x-1 B.e-x+1

C.-e-x-1 D.-e-x+1

答案:D

解析:∵f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x).

当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),

即f(x)=-e-x+1.故选D.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为(　　)

A.0 B.1

C. D.-

答案:A

解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(lo)=f(-log2)=f=-f.

又f(x+2)=f(x),

所以f=f=0.

所以f(lo)=0.

7.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则(　　)

A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)

答案:D

解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.

又f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.

可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x.若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)

C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

答案:C

解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.

作出f(x)的大致图象(实线部分),如图所示,

结合图象可知f(x)是R上的增函数.

由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1,选C.

9.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　　. 

答案:3

解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x).

又f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.

10.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f=0,则f(x)>0的解集为　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:由奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f=0,可知函数y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f=0.由f(x)>0,可得x>或-<x<0.

11.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 023)=　　　　　. 

答案:2

解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.

又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),

所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,

所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.

故f(2023)=f(1)=2.

12.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为　　　　　. 

答案:[-1,1)

解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],

∴解得-1≤m≤.①

又f(x)为奇函数,且在区间[-2,0]上单调递减,

∴f(x)在区间[-2,2]上单调递减,

∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).

∴1-m>m2-1,解得-2<m<1.②

综上①②可知,-1≤m<1,

即实数m的取值范围是[-1,1).

能力提升

13.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0,则下列结论正确的是(　　)

A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25) 

B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)

C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3) 

D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)

答案:A

解析:∵对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,都有<0,∴f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,

又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.

∵0<0.32<20.3<log25,∴f(0.32)<f(20.3)<f(log25).

故选A.

14.已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上的奇函数,若f(-2)=1,则f(0)=(　　)

A.-3 B.-2 C.-1 D.0

答案:A

解析:令g(x)=f(x-1)+x2.

因为g(x)是定义在R上的奇函数,

所以g(-1)=-g(1),即f(-2)+1=-[f(0)+1],

得f(0)=-3.

15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是(　　)

A.0 B.0或-

C.-或- D.0或-

答案:D

解析:因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.

因为当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期[0,2]上的图象如图所示.

显然a=0时,y=x与y=x2在区间[0,2]上恰有两个不同的公共点.

另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.

由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.

故Δ=1+4a=0,即a=-.

综上可知,a=0或a=-.

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若<a<,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为　　　　　. 

答案:5

解析:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.

若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],

此时f(-x)=-3x.

由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.

由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).

设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.

因为<a<,且当a=和a=时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.

17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　　. 

答案:-8

解析:∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),

∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),

即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.

∵f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.

据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):

其图象也关于直线x=-6对称,

∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.

高考预测

18.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(　　)

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)

C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

答案:D

解析:∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8).

∴函数f(x)是以8为周期的周期函数.

∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).

又f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数.

∴f(-1)<f(0)<f(1),

即f(-25)<f(80)<f(11).