高考数学一轮复习考点规范练29等差数列及其前n项和含解析新人教A版文

考点规范练29　等差数列及其前n项和

基础巩固

1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于(　　)

A. B.27 C.54 D.108

答案:B

解析:S9==27.

2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)

A. B. C.10 D.12

答案:B

解析:∵公差d=1,S8=4S4,

∴,

即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=.

∴a10=a1+9d=+9=.

3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)

A.-12 B.-10 C.10 D.12

答案:B

解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.

4.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为(　　)

A.110 B.200 C.210 D.260

答案:C

解析:设{an}的前n项和为Sn.

∵在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,

又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差数列,

∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.

5.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)

A.18 B.19 C.20 D.21

答案:C

解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,

则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.

6.在等差数列{an}中,若是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(　　)

A.{1} B.

C. D.

答案:B

解析:特殊值验证法.

若=1,则数列{an}是一个常数列,满足题意;

若,

设等差数列的公差为d,则an=a2n=(an+nd),

化简,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,

化简,得a1=d,也满足题意;

若=0,则an=0,不符合题意.故选B.

7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤.(“斤”是非国际通用单位) 

答案:184

解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,

由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+×17=996,解得a1=65.

所以a8=65+7×17=184.

8.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 

答案:3n2-2n

解析:数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列.

所以{an}的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.

9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:成等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

答案:(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,

所以=2.

又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)解由(1)可得=2n,Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-.

当n=1时,a1=不适合上式.

故an=

10.在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.

解:(1)设数列{an}的公差为d,

由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,

解得a1=1,d=.

所以{an}的通项公式为an=.

(2)由(1)知,bn=.

当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;

当n=4,5时,2≤<3,bn=2;

当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;

当n=9,10时,4≤<5,bn=4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.

11.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.

(1)若a3=4,求{an}的通项公式;

(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.

解:(1)设{an}的公差为d.

由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.

于是a1=8,d=-2.

因此{an}的通项公式为an=10-2n.

(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.

由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,

解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.

能力提升

12.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则当数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:B

解析:∵a1=19,an+1=an-3,

∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.

∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

设{an}的前k项和数值最大,则有k∈N*.

∴≤k≤.

∵k∈N*,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.

13.(2020浙江,7)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是(　　)

A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6

C.=a2a8 D.=b2b8

答案:D

解析:A.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A成立;

B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,若2b4=b2+b6,则2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12.

因为7+8=3+12=4+11,所以2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2(a7+a8)成立,故B成立;

C.=a2a8⇔(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),

整理可得a1=d,故C可能成立;

D.b8=S16-S14=a15+a16,当=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d),整理为2a1=3d,

这与已知≤1矛盾,故D不可能成立.

综上可知,等式不可能成立的是D.故选D.

14.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N*),设Sn为{bn}的前n项和.若a12=a5>0,则当Sn取得最大值时,n的值等于　　　　　. 

答案:16

解析:设{an}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,a12<a5,即d<0,

所以an=d,从而可知当1≤n≤16时,an>0;

当n≥17时,an<0.从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,

故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….

因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,所以Sn中S16最大.故答案为16.

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2<0,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求的前n项和Tn取得最小值时n的值.

解:(1)∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.

∵1,a2,81成等比数列,∴=1×81.

又a2<0,∴a2=-9.

∴等差数列{an}的公差d==2.

∴an=a2+(n-2)×2=2n-13.

(2)∵Sn==n2-12n.

∴=n-12.由n-12≤0,解得n≤12.

因此,当n=11或n=12时,的前n项和Tn取得最小值.

16.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.

(1)求通项公式an;

(2)求Sn的最小值;

(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.

解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.

又a3·a4=117,

∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.

又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,

∴

∴通项公式an=4n-3.

(2)由(1)知a1=1,d=4,

∴Sn=na1+d=2n2-n=2.

∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.

(3)由(2)知Sn=2n2-n,∴bn=,

∴b1=,b2=,b3=.

∵数列{bn}是等差数列,

∴2b2=b1+b3,即×2=,∴2c2+c=0,

∴c=-(c=0舍去),故c=-.

高考预测

17.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求同时满足下列条件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.

解:(1)∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,

∴

解得

∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.

(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,

∴满足条件的n组成等差数列{bn},且b1=20,d=5,bn=115,∴项数为+1=20.

∴{bn}的所有项的和为

S20=20×20+×20×19×5=1350.

又an=2n,即an=2bn,

∴满足条件的所有an的和为2S20=2×1350=2700.