高考数学一轮复习考点规范练41直线的倾斜角与斜率直线的方程含解析新人教A版文

考点规范练41　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

基础巩固

1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y=(　　)

A.-1 B.-3 C.0 D.2

答案:B

解析:tan=y+2,

因此y+2=-1,y=-3.

2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(　　)

A.1 B.-1

C.2或1 D.-2或1

答案:C

解析:当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,

当a≠0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是,

令x=0时,得到直线在y轴上的截距为2-a,

根据题意得=2-a,解得a=2或a=1,故选C.

3.已知直线l的斜率为k(k≠0),它在x轴、y轴上的截距分别为k和2k,则直线l的方程为(　　)

A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0

C.2x+y-4=0 D.2x+y+4=0

答案:D

解析:依题意得直线l过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率k==-2,由点斜式得直线l的方程为y=-2(x+2),化为一般式是2x+y+4=0.

4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)

A.  B.∪(1,+∞)

C.(-∞,1)∪ D.(-∞,-1)∪

答案:D

解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪.

5.一次函数y=-x+的图象同时经过第一、第二、第四象限的必要不充分条件是(　　)

A.m>1,且n>1 B.mn>0

C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0

答案:B

解析:因为y=-x+经过第一、二、四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.

6.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)

A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0

C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0

答案:A

解析:易知A(-1,0).

∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.

∴B(5,0).

∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.

∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.

7.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. 

答案:16

解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.

根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.

8.一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是　　　　　　　　　　. 

答案:x-y-3=0

解析:因为直线y=x的倾斜角为30°,

所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan60°=.

又该直线过点A(2,-),

故所求直线为y-(-)=(x-2),

即x-y-3=0.

9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.

(1)直线l经过定点P(2,-1);

(2)直线l在y轴上的截距为6;

(3)直线l与y轴平行;

(4)直线l与y轴垂直.

解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,

把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.

(2)令x=0,得y=,

根据题意可知=6,

解得m=-或m=0.

(3)直线与y轴平行,

则有解得m=.

(4)直线与y轴垂直,

则有解得m=3.

10.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.

解:∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,

∴可设点B的坐标为(a,8-2a).

∵点P(0,1)是线段AB的中点,

∴点A的坐标为(-a,2a-6).

又点A在直线l1:x-3y+10=0上,

∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,

得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.

∴点B的坐标是(4,0).

因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,即x+4y-4=0.

能力提升

11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

答案:C

解析:∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),

∴a+b=ab,即=1,

∴直线在x轴、y轴上的截距之和

a+b=(a+b)=2+≥2+2=4,

当且仅当a=b=2时等号成立.

∴该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.

12.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△AOB的面积取最小值时,直线l的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:2x+3y-12=0

解析:方法1:易知直线l的斜率k存在且k<0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),

则A,B(0,2-3k),

所以S△AOB=(2-3k)==×(12+2×6)=12,

当且仅当-9k=,即k=-时等号成立.

所以当k=-时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为y-2=-(x-3),

即2x+3y-12=0.

方法2:设直线l的方程为=1(a>0,b>0),将点P(3,2)代入得=1≥2,即ab≥24,当且仅当,即a=6,b=4时等号成立,又S△AOB=ab,

所以当a=6,b=4时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为=1,

即2x+3y-12=0.

13.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.

解:设直线l的斜率为k,则k<0,

直线l的方程为y-1=k(x-1),

则A,B(0,1-k),

所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2

=2+k2+≥2+2=4,

当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.

高考预测

14.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.

解:(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,

则a=1-,b=4-k.

故a+b=5+≥5+4=9,

当且仅当k=-2时等号成立.

此时直线l的方程为y=-2x+6.

(方法二)设l:=1(a>0,b>0).

由于l经过点A(1,4),故=1,

则a+b=(a+b)·=5+≥9,

当且仅当,

即b=2a时等号成立,

此时a=3,b=6.

故所求直线l的方程为=1,

即y=-2x+6.