高考数学一轮复习考点规范练44椭圆含解析新人教版

考点规范练44　椭圆

一、基础巩固

1.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于(　　)

A B C D.4

答案:A

解析:由已知得F1(-,0),∵PF1⊥x轴,

∴P(-,±),

∴|PF1|=,又|PF1|+|PF2|=4,

∴|PF2|=4-

2.(2021广东湛江二模)已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为(　　)

A B C D

答案:A

解析:由已知得过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为的直线的方程为y=x-b,即x-y-b=0,点F(c,0),

则c=,

即(2c-b)(c+2b)=0,因为b>0,c>0,所以b=2c.

又a2=b2+c2,a>0,所以a=c,

所以e=

3.(2021贵州贵阳一模)已知F1,F2分别为椭圆E:=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=(　　)

A.10 B.8 C.5 D.4

答案:C

解析:如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.

由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|PF2|,M为F2Q的中点.

又O为F1F2的中点,所以|OM|=|F1Q|.

由椭圆的定义,可知|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.

4.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值为(　　)

A.0 B.2 C.4 D.-2

答案:D

解析:根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),

∵F1(-,0),F2(,0),

=(-,-1),=(,-1),

=-2.

5.(多选)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　)

A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为(0,)

D.若,则椭圆C的长轴长为

答案:ACD

解析:由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.

A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.

B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正确.

C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+,所以离心率e=,所以e∈0,,所以C正确.

D中,因为,所以F1为PQ的中点,又F1(-1,0),F2(1,0),P(1,1),所以Q(-3,-1),所以长轴长2a=|QF1|+|QF2|=,所以D正确.

6.设F1,F2为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为　. 

答案:=1

解析:∵△F2AB是面积为4的等边三角形,

∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=

又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,

2c.①

又2c=4,②

a2=b2+c2,③

由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,

∴椭圆C的方程为=1.

7.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为　　　　　. 

答案:

解析:联立两式相减得,又a≠b,

所以x2=y2=,

故四边形ABCD为正方形,其面积为(*)

由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=

8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.

解:由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,

所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,

其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为,

所以点M的轨迹方程为=1.

9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.

解:椭圆方程可化为=1,m>0.

∵m->0,∴m>

∴a2=m,b2=,c=

由e=,得,∴m=1.

∴椭圆的标准方程为x2+=1,∴a=1,b=,c=

∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-,0),F2(,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-),B2(0,).

二、综合应用

10.已知椭圆C1:=1的离心率为e1,双曲线C2:=1的离心率为e2,其中,a>b>0,,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为(　　)

A+y2=1 B=1

C=1 D=1

答案:C

解析:椭圆C1:=1的离心率e1=,双曲线C2:=1的离心率e2=,由,得,则a=b.由得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为=1.故选C.

11.(多选)设椭圆的方程为=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是(　　)

A.直线AB与OM垂直

B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0

C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为()

D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=

答案:BD

解析:对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则M.

由已知得=1,=1,两式相减,整理得=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,

故选项A错误.

对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.

对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.

对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=,故选项D正确.

12.(多选)(2021山东淄博二模)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是(　　)

A.离心率e=

B.||的最大值为3

C.△PF1F2的面积的最大值为2

D.||的最小值为2

答案:AD

解析:因为椭圆C:+y2=1,所以a=2,b=1,c=,所以e=故A正确.

设点P(x,y),则=(-x,-y),

因为点P在椭圆C上,

所以+y2=+1--2x+4.

因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,||2最大,即||最大,此时||max=2+故B错误.

因为2c·|y|=|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.

又-1≤y≤1,所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为故C错误.

设坐标原点为O,则||=2||=2=2

因为-2≤x≤2,所以1+1≤4,

所以2≤||≤4.故D正确.

故选AD.

13.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则的最小值是　　　　　. 

答案:

解析:据题意,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以)(|PF1|+|PF2|)=(5+),

当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=,|PF1|=时,等号成立.

14.如图,过原点O的直线AB交椭圆C:=1(a>b>0)于A,B两点,过点A分别作x轴、AB的垂线AP,AQ交椭圆C于点P,Q,连接BQ交AP于一点M,若,则椭圆C的离心率是　　　　　. 

答案:

解析:设A(x1,y1),Q(x2,y2),则B(-x1,-y1),P(x1,-y1),Mx1,-y1,

由AB⊥AQ,得=-1,

由B,M,Q三点共线,得,

故=-,

即=-).

又因为=1,=1,

所以=0,

所以,

故椭圆C的离心率是

15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为　　　　　. 

答案:(0,]

解析:如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,

∵∠AFB≥120°,

∴∠FAE≤60°.

设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,

则mn=a2.

在△AFE中,由余弦定理知,

cos∠FAE=-1=-1-1=1-2e2.

∵∠FAE≤60°,∴cos∠FAE∈[,1),

∴1-2e2,

∴e2又0<e<1,∴e∈(0,].

16.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.

解:(1)因为|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.

又点P(-1,)在椭圆上,所以=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为=1.

(2)由(1)知点A(2,0),因为点P,

所以直线AP的方程为x+2y-2=0,所以H(0,1).

当直线MN与x轴垂直时,不合题意.

当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,由可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.

设点M(x1,y1),N(x2,y2),

则

由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入①,可得所以3,解得k=±,所以直线MN的方程为y=x+1或y=-x+1.

三、探究创新

17.如图,把半椭圆:=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”,其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”交于P,Q两点,则△A1PQ的周长的取值范围是　　　　　. 

答案:(6,8]

解析:由(x-1)2+y2=a2(x<0),令y=0,可得x=1-a,即A1(1-a,0).

由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由∠B1FB2=120°,可得,由F(1,0)可得b=,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为=1(x≥0),(x-1)2+y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0),B1(0,-),B2(0,),可得A1相当于椭圆的左焦点,△A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+|QF|=4,此时△A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0<|PA1|<2,此时△A1PQ的周长的取值范围为(6,8).

综上所述,△A1PQ的周长的取值范围为(6,8].