高考数学一轮复习考点规范练54随机事件与概率事件的相互独立性含解析新人教版

考点规范练54　随机事件与概率、事件的相互独立性

一、基础巩固

1.从装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,则互斥而不对立的事件是(　　)

A.至少有1个黑球与都是黑球

B.至少有1个黑球与都是红球

C.至少有1个黑球与至少有1个红球

D.恰有1个黑球与恰有2个黑球

答案:D

解析:对于A,事件“至少有1个黑球”与“都是黑球”可以同时发生,故A中两个事件不互斥.对于B,事件“至少有1个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但一定有一个发生,故B中两个事件为对立事件.对于C,事件“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”可以同时发生,故C中两个事件不互斥.对于D,事件“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生,但可能同时不发生,故D中两个事件互斥而不对立.

2.甲、乙两人下棋,若两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(　　)

A B C D

答案:A

解析:因为事件“甲不输”包含“两人下成和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为

3.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,产品长度在区间[20,25)内的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)内的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为(　　)

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45

答案:D

解析:由题意可知产品长度在区间[25,30)内的频率为1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.25,故从该批产品中随机抽取一件,其为二等品的概率为0.04×5+0.25=0.45.

4.(2021河北唐山模拟)已知甲、乙、丙、丁四人进行围棋比赛,比赛流程如图所示,根据以往经验,甲战胜乙、丙、丁的概率分别为0.8,0.4,0.6,丙战胜丁的概率为0.5,并且比赛没有和棋,则甲获得最后冠军的概率为(　　)

A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3

答案:C

解析:依题意,所求概率为0.8×0.5×0.4+0.8×(1-0.5)×0.6=0.4.

5.一只袋子中装有除颜色外其他完全相同的7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取1个,取得2个红球的概率为,取得2个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为　　　　　;至少取得1个红球的概率为　　　　　. 

答案:

解析:由于“取得2个红球”与“取得2个绿球”是互斥事件,取得2个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得2个同色球的概率为P=

由于事件A“至少取得1个红球”与事件B“取得2个绿球”是对立事件,则至少取得1个红球的概率为

P(A)=1-P(B)=1-

6.(2021江苏金陵中学高三月考)为迎接2022年北京冬奥会,某工厂生产了一批雪车,这批产品按质量分为一等品,二等品,三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测,已知抽到不是三等品的概率为0.93,抽到一等品或三等品的概率为0.85,则抽到一等品的概率为　　　　　. 

答案:0.78

解析:设事件A=“抽到一等品”,B=“抽到二等品”,C=“抽到三等品”,

则

解得

所以抽到一等品的概率为0.78.

7.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图:

(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;

(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.

解:(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率估计值为

(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为

8.袋中有除颜色外其他完全相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?

解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,

则有P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,

P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是

二、综合应用

9.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,则恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)

A.p1p2

B.p1(1-p2)+p2(1-p1)

C.1-p1p2

D.1-(1-p1)(1-p2)

答案:B

解析:甲解决问题而乙没有解决问题的概率是p1(1-p2),

乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1-p1).

故恰有1人解决问题的概率是p1(1-p2)+p2(1-p1).

10.某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”“诗词”“理学”三个社团,根据资料统计,新生是否选择参加这三个社团相互独立.某新生入学,假设他选择参加该校的“书法”“诗词”“理学”三个社团的概率依次为m,,n,已知他三个社团都选择参加的概率为,都选择不参加的概率为,且m>n.

(1)求m与n的值;

(2)该校根据三个社团的活动安排情况,对参加“书法”社团的同学增加校本选修学分1分,对参加“诗词”社团的同学增加校本选修学分2分,对参加“理学”社团的同学增加校本选修学分3分.求该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率.

解:(1)由题意,得

解得m=,n=

(2)设事件A=“获得校本选修学分4分”,B=“获得校本选修学分5分”,C=“获得校本选修学分6分”,

则由已知得P(A)=,

P(B)=,

P(C)=,

故该新生在社团方面获得校本选修学分不低于4分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=

11.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

解:(1)甲连胜四场的概率为

(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况:

甲连胜四场的概率为;

乙连胜四场的概率为;

丙上场后连胜三场的概率为

所以需要进行第五场比赛的概率为1-

(3)丙最终获胜,有两种情况:

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;

比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为

因此丙最终获胜的概率为

三、探究创新

12.某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中,车主为新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主为新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.

解:(1)由已知得样本车辆中,赔付金额大于投保金额的频率为=0.27.用频率估计概率,可知赔付金额大于投保金额的概率估计值为0.27.

(2)由题意,可知样本车辆中,车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),故样本车辆中,新司机获赔金额为4000元的频率为=0.24,用频率估计概率,可知在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率估计值为0.24.

13.已知三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,将它们中某两个元件并联后再与第三个元件串联接入电路.

(1)如图,求该电路不发生故障的概率;

(2)按要求如何将三个元件接入电路,才能使电路不发生故障的概率最大?请说明理由.

解:设事件A1=“元件T1正常工作”,A2=“元件T2正常工作”,A3=“元件T3正常工作”,

则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=

(1)设事件A=“该电路不发生故障”,

则由题意可知A=(A2∪A3)A1.

因为P(A2∪A3)=1-,P(A1)=,所以P(A)=

(2)将元件T2,T3并联后再与元件T1串联接入电路,由(1)知,此时电路不发生故障的概率P1=

将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路,

此时电路不发生故障的概率P2=P((A1∪A3)A2)=P(A1∪A3)P(A2)=

将元件T1,T2并联后再与元件T3串联接入电路,此时电路不发生故障的概率P3=P((A1∪A2)A3)=P(A1∪A2)·P(A3)=

因为P2=P3>P1,所以将元件T1,T3并联后再与元件T2串联接入电路或将元件T1,T2并联后再与元件T3串联接入电路,才能使电路不发生故障的概率最大.