高考数学一轮复习单元质检五平面向量数系的扩充与复数的引入含解析新人教A版理

单元质检五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)

1.复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

答案:B

解析:∵=1+i,

∴复数的共轭复数为1-i.

2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2=0,则(　　)

A.=2 B.

C.=3 D.2

答案:B

解析:由2=0,得=-2=2,即=2=2,

所以,故选B.

3.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=(　　)

A.-3 B.-2

C.2 D.3

答案:C

解析:由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).

所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.

4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(　　)

A.-a2 B.-a2

C.a2 D.a2

答案:D

解析:如图,设=a,=b,

则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+a2=a2.

5.已知复数z=a+(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:A

解析:由题意,得z=a+=a+,

∴.

又复数z的共轭复数的虚部为-,

∴-=-,解得a=2.

∴z=i,

∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是(　　)

A.(-3,0) B.(2,0) 

C.(3,0) D.(4,0)

答案:C

解析:设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),

=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.

当x=3时,有最小值1.

故点P坐标为(3,0).

7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为(　　)

A.- B.- C. D.

答案:A

解析:由题意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).

因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,

所以(b+λa)·c=0,

即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,

解得λ=-,

故选A.

8.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(　　)

A.- B.- 

C. D.

答案:D

解析:∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,

∴|a+b|=7,∴cos<a,a+b>=.

9.已知向量a,b满足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=(　　)

A.2 B.2 C.4 D.12

答案:A

解析:由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,

所以a·b=.

由向量a在向量b方向上的投影为-2,得=-2,

即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.

10.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案:D

解析:由题意,得=(2+cosα,2+sinα),

所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,

如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量与向量的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.

11.已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.

答案:B

解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4+3的最小值为3,因此|-t|的最小值为.

12.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且a·b=1.若e为平面单位向量,则(a+b)·e的最大值为(　　)

A. B.6 C. D.7

答案:C

解析:(a+b)·e=a·e+b·e≤|a·e|+|b·e|=,其几何意义为a在e方向上的投影的绝对值与b在e方向上的投影的绝对值的和,当e与a+b共线时,取得最大值,(|a·e|+|b·e|)max=|a+b|=,则(a+b)·e的最大值为,故选C.

二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,

则E.

设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,

则=2x+y,

令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值.

14.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　. 

答案:2

解析:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.

∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.

又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,∴a+c=,b+d=1.

∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.

∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.

∴|z1-z2|==2.

15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则()·()的最小值为　　　　　. 

答案:-1

解析:如图,建立平面直角坐标系.

则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).

设P(x,y),则=(-x,1-y),=(-x,-y),=(1-x,-y),=(1-x,1-y),()·()=(-2x,1-2y)·[2(1-x),1-2y]=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2=1,

当x=,y=时,()·()有最小值,且最小值为-1.

16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=上的一个动点,则的取值范围是　　　　　　　. 

答案:[0,+1]

解析:如图,画出函数y=的图象.

这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.

设的夹角为θ,

则θ∈.

当θ∈时,cos,

当θ∈时,cos.

因为y=cosx,x∈R是偶函数,

所以||=2cos,θ∈.

=||||cosθ=2coscosθ

=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1

=sin+1.

因为θ∈,所以2θ+.

当2θ+,即θ=时,取最大值+1,

当2θ+,即θ=时,取最小值0,

所以的取值范围是[0,+1].