高考数学一轮复习单元质检十二概率A含解析新人教A版理

单元质检十二　概率(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),即D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,x∈D的概率P=.故选B.

2.若ξ~B(n,p)且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为(　　)

A. B. C.2-4 D.2-8

答案:B

解析:∵E(ξ)=np=6,D(ξ)=np(1-p)=3,

∴p=,n=12,∴P(ξ=1)=.

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有=45种情况,而和为30的有7+23,11+19,13+17这3种情况,故所求概率为.

4.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:质点P移动五次后位于点(2,3),则五次移动中两次向右,剩下三次向上,根据二项分布可得,所求概率为,故选B.

5.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:B

解析:∵正态曲线的对称轴为x=5,

又P(X>k)=P(X<k-4),

∴k+(k-4)=2×5,

∴k=7,故选B.

6.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,

∴Δ=16-4X≥0,

∴X≤4.

∵随机变量X服从二项分布X~B,

∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处通行的概率分别为,则汽车在这三处停车一次的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,停车为,

则P(A)=,P(B)=,P(C)=,

停车一次即为事件(BC)∪(AC)∪(AB)发生,

故所求概率为.

8.在区间[0,1]上随机抽取两个数x,y,则事件“xy≥”发生的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设P(x,y).

∵0≤x≤1,0≤y≤1,

∴点P落在正方形OABC内部(含边界),如图.

作曲线y=,交正方形OABC于D,E两点,则满足条件xy≥的点P落在区域BDE内(含边界),如图阴影部分所示.

由于S阴影=×1-dx=ln2.

因此“xy≥”发生的概率为ln2.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

10.(15分)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为;两人滑雪时间都不会超过3小时.

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ).

解:(1)甲、乙两人所付费用相同即为0元、40元、80元.

都付0元的概率为P1=,

都付40元的概率为P2=,

都付80元的概率为P3=,

故所付费用相同的概率为P1+P2+P3=.

(2)由题意,得甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0,40,80,120,160,

P(ξ=0)=,

P(ξ=40)=,

P(ξ=80)=,

P(ξ=120)=,

P(ξ=160)=,

故ξ的分布列为

均值E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80.

11.(15分)某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“十分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分别以分数中小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.

(1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”.求从这16人中随机选取3人,求至多有1人“非常了解”的概率;

(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据,若从该所学校(人数可视为很多)任选3人,记ξ表示抽到“非常了解”的人数,求ξ的分布列及均值.

解:(1)众数:8.6;

中位数:=8.75.

(2)设Ai表示所取3人中有i人对该岛“非常了解”,至多有1人对该岛“非常了解”记为事件A,

则P(A)=P(A0)+P(A1)=.

(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)=;

P(ξ=1)=;

P(ξ=2)=;

P(ξ=3)=.

所以ξ的分布列为

E(ξ)=0×+1×+2×+3×=0.75.

另解:ξ的可能取值为0,1,2,3,

则ξ~B,

P(ξ=k)=.

所以E(ξ)=3×=0.75.