2021-2022学年广西省蒙山县重点达标名校中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：

某同学分析上表后得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；

②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；

③甲班成绩的波动比乙班大．

上述结论中，正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

2．小明解方程的过程如下，他的解答过程中从第（　　）步开始出现错误．

解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①

去括号，得1﹣x+2＝1②

合并同类项，得﹣x+3＝1③

移项，得﹣x＝﹣2④

系数化为1，得x＝2⑤

A．① B．② C．③ D．④

3．已知关于x的一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ）.

A．m＞－1且m≠0 B．m＜1且m≠0 C．m＜－1 D．m＞1

4．如图，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG，则图中阴影部分的最大面积为（　　）

A．6 B．9 C．11 D．无法计算

5．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1

6．下列调查中适宜采用抽样方式的是（　　）

A．了解某班每个学生家庭用电数量    B．调查你所在学校数学教师的年龄状况

C．调查神舟飞船各零件的质量    D．调查一批显像管的使用寿命

7．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：

从上表可知，下列说法错误的是

A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)

C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

8．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（   ）

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

9．如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是(单位：cm)(     )

A．24π cm2 B．48π cm2 C．60π cm2 D．80π cm2

10．在实数，，，中，其中最小的实数是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：a3－a=______．

12．阅读理解：引入新数，新数满足分配律，结合律，交换律.已知，那么________.

13．对于函数，我们定义（m、n为常数）．

例如，则．

已知：．若方程有两个相等实数根，则m的值为__________．

14．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．

15．如图，正△ABC 的边长为 2，顶点 B、C 在半径为 的圆上，顶点 A在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点 A 第一次落在圆上时，则点 C 运动的路线长为     （结果保留π）；若 A 点落在圆上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕 C 将△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转……，若此旋转下去，当△ABC 完成第 2017 次旋转时，BC 边共回到原来位置      次．

16．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，则cos∠AOA′=__．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=1．

18．（8分）计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|

19．（8分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．

（1）如图1，若A（－1，0），B（3，0），

① 求抛物线的解析式；

② P为抛物线上一点，连接AC，PC，若∠PCO=3∠ACO，求点P的横坐标；

（2）如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连DA，DB，若∠BDA+2∠BAD=90°，求点D的纵坐标.

20．（8分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：

已知：如图，直线l和直线l外一点A

求作：直线AP，使得AP∥l

作法：如图

①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．

②连接AC，AB，延长BA到点D；

③作∠DAC的平分线AP．

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

完成下面的证明

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB　   　（填推理的依据）

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB　   　（填推理的依据）

∴∠DAC＝2∠ABC

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP

∴∠DAP＝∠ABC

∴AP∥l　   　（填推理的依据）

21．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．

（1）求证：AE⊥EF；

（2）若圆的半径为5，BD＝6  求AE的长度．

23．（12分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：1．求的值．

24．某同学报名参加学校秋季运动会，有以下 5 个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用 A1、A2、A3 表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用 T1、T2 表示）．

（1）该同学从 5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率 P 为     ；

（2）该同学从 5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率 P1，利用列表法或树状图加以说明；

（3）该同学从 5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率 P2 为     ．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；

详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；

根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；

根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．

故①②③正确，

故选D．

点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2、A

【解析】
根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．

【详解】

=1，

去分母，得1-（x-2）=x，故①错误，

故选A．

【点睛】

本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．

3、A

【解析】
∵一元二次方程mx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，

∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0，

解得：m＞﹣1且m≠0.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：

（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；

（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.

4、B

【解析】
有旋转的性质得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，得到S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时， S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，推出S△GBI=S△ABC，于是得到阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，于是得到结论．

【详解】

把△IBE绕B顺时针旋转90°，使BI与AB重合，E旋转到H'的位置，

∵四边形BCDE为正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，

∴C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，

∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC，

同理：S△CDF=S△ABC，

当∠BAC=90°时，

S△ABC的面积最大，

S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，

∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，

∴∠GBE=90°，

∴S△GBI=S△ABC，

所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，

又∵AB=2，AC=3，

∴图中阴影部分的最大面积为3× ×2×3=9，

故选B．

【点睛】

本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S△ABC的3 倍是解题的关键．

5、B

【解析】
根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解.

【详解】

解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE=BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4，

∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；

故选B．

【点睛】

本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质．

6、D

【解析】
根据全面调查与抽样调查的特点对各选项进行判断．

【详解】

解：了解某班每个学生家庭用电数量可采用全面调查；调查你所在学校数学教师的年龄状况可采用全面调查；调查神舟飞船各零件的质量要采用全面调查；而调查一批显像管的使用寿命要采用抽样调查．

故选：D．

【点睛】

本题考查了全面调查与抽样调查：全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．

7、C

【解析】

当x=-2时，y=0，
∴抛物线过（-2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；
当x=0时，y=6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；
当x=0和x=1时，y=6，
∴对称轴为x=，故C错误；
当x＜时，y随x的增大而增大，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；
故选C．

8、D

【解析】
根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.

【详解】

设所求多边形边数为n，

∴（n﹣2）•180°＝1080°，

解得n＝8.

故选D.

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.

9、A

【解析】
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其侧面积．

【详解】

解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为8÷1=4cm，

故侧面积=πrl=π×6×4=14πcm1．

故选：A．

【点睛】

此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

10、B

【解析】
由正数大于一切负数，负数小于0，正数大于0，两个负数绝对值大的反而小，把这四个数从小到大排列，即可求解．

【详解】

解：∵0，-2，1，中，-2＜0＜1＜，
∴其中最小的实数为-2；
故选：B．

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，关键是掌握：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、a（a－1）（a + 1）

【解析】

分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：解：a3-a，

=a（a2-1），

=a（a+1）（a-1）．

12、2

【解析】
根据定义即可求出答案．

【详解】

由题意可知：原式=1-i2=1-（-1）=2

故答案为2

【点睛】

本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义．

13、

【解析】

分析：根据题目中所给定义先求，再利用根与系数关系求m值.

详解：由所给定义知，,若

=0,

解得m=.

点睛：一元二次方程的根的判别式是,

△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,

△=0说明方程有两个相等实数解,

△<0说明方程无实数解.

实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.

14、-1

【解析】
将（2，2）代入y=（a-1）x2-x+a2-1 即可得出a的值．

【详解】

解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，

∴a2-1=2，

∴a=±1，

∵a-1≠2，

∴a≠1，

∴a的值为-1．

故答案为-1．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=2时，y=2．

15、，1.

【解析】
首先连接OA′、OB、OC，再求出∠C′BC的大小，进而利用弧长公式问题即可解决．因为△ABC是三边在正方形CBA′C″上，BC边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，推出当△ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置1次.

【详解】

如图，连接OA′、OB、OC．

∵OB=OC=，BC=2，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°；

同理可证：∠OBA′=45°，

∴∠A′BC=90°；

∵∠ABC=60°，

∴∠A′BA=90°-60°=30°，

∴∠C′BC=∠A′BA=30°，

∴当点A第一次落在圆上时，则点C运动的路线长为：．

∵△ABC是三边在正方形CBA′C″上，BC边每12次回到原来位置，

2017÷12=1.08，

∴当△ABC完成第2017次旋转时，BC边共回到原来位置1次，

故答案为：，1．

【点睛】

本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、规律问题等知识，解题的关键是循环利用数形结合的思想解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，所以中考填空题中的压轴题．

16、．

【解析】
依据点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，即可得到A'O=1，AA'=2，AO=，进而得出cos∠AOA′的值．

【详解】

如图所示，点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，

∴A'O=1，AA'=2，

∴AO=，

∴cos∠AOA′=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

三、解答题（共8题，共72分）

17、2．

【解析】
根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+2代入即可.

【详解】

解：原式=×

=×

=，

∵x2﹣x﹣2=2，

∴x2=x+2，

∴==2．

18、

【解析】
先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．

【详解】

原式＝

=

=

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．

19、（1）①y=-x2+2x+3②（2）-1

【解析】

分析：（1）①把A、B的坐标代入解析式，解方程组即可得到结论；

②延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于N．由CD=CA ，OC⊥AD，得到∠DCO=∠ACO．由∠PCO=3∠ACO，得到∠ACD=∠ECD，从而有tan∠ACD=tan∠ECD，

，即可得出AI、CI的长，进而得到．设EN=3x，则CN=4x，由tan∠CDO=tan∠EDN，得到，故设DN=x，则CD=CN-DN=3x=，解方程即可得出E的坐标，进而求出CE的直线解析式，联立解方程组即可得到结论；

（2）作DI⊥x轴，垂足为I．可以证明△EBD∽△DBC，由相似三角形对应边成比例得到，

即，整理得．令y=0，得：．

故，从而得到．由，得到，解方程即可得到结论．

详解：（1）①把A（－1，0），B（3，0）代入得：

，解得：，

∴

②延长CP交x轴于点E，在x轴上取点D使CD=CA，作EN⊥CD交CD的延长线于N．

∵CD=CA ，OC⊥AD，∴ ∠DCO=∠ACO．

∵∠PCO=3∠ACO，∴∠ACD=∠ECD，∴tan∠ACD=tan∠ECD，

∴，AI=，

∴CI=，∴．

设EN=3x，则CN=4x．

 ∵tan∠CDO=tan∠EDN，

∴，∴DN=x，∴CD=CN-DN=3x=，

∴，∴DE= ，E(，0)．

CE的直线解析式为：，

，解得：．

点P的横坐标 ．

（2）作DI⊥x轴，垂足为I．

∵∠BDA+2∠BAD=90°，∴∠DBI+∠BAD=90°．

∵∠BDI+∠DBI=90°，∴∠BAD=∠BDI．

∵∠BID=∠DIA，∴△EBD∽△DBC，∴，

∴，

∴．

令y=0，得：．

∴，∴．

∵，

∴，

解得：yD=0或－1．

∵D为x轴下方一点，

∴，

∴D的纵坐标－1 ．

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了二次函数解析式、性质，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系．综合性比较强，难度较大．

20、 (1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．

【解析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．

【详解】

解：（1）如图所示，直线AP即为所求．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），

∴∠DAC＝2∠ABC，

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP，

∴∠DAP＝∠ABC，

∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），

故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．

21、（1）y＝﹣10x2+130x+2300，0＜x≤10且x为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.

【解析】
（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．

（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．

（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．

【详解】

（1）根据题意得：

y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，

自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；

（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，

解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）                       

当x＝2时，30+x＝32（元）

答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

（3）根据题意得：

y＝﹣10x2+130x+2300

＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，

∵0＜x≤10且x为正整数，

∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），

当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），

答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．

22、（1）详见解析；（2）AE＝6.1．

【解析】
(1)连接OD，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA，即可证得结论；

(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．

【详解】

(1)连接OD，

∵EF是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵点D是弧BC中点，

∴∠EAD=∠OAD，

∴∠EAD=∠ODA，

∴OD∥EA，

∴AE⊥EF；

(2)∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵圆的半径为5，BD=6 

∴AB=10，BD=6，

在Rt△ADB中，，

∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，

∴△AED∽△ADB，

∴，

即，

解得：AE=6.1．

【点睛】

本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．

23、

【解析】
先根据平行线的性质证明△ADE∽△FGH，再由线段DF=BG、FE=HC及BG︰GH︰HC=2︰4︰1，可求得的值.

【详解】

解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,

∵FG∥AB，

∴∠FGH=∠B,

∴∠ADE=∠FGH,

同理：∠AED=∠FHG,

∴△ADE∽△FGH,

∴ ,

∵DE∥BC ，FG∥AB，

∴DF=BG,

同理：FE=HC,

∵BG︰GH︰HC=2︰4︰1，

∴设BG=2k，GH=4k，HC=1k,

∴DF=2k，FE=1k，

∴DE=5k,

∴.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.

24、（1）；（1） ；（3）；

【解析】
（1）直接根据概率公式求解；

（1）先画树状图展示所有10种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；

（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P1．

【详解】

解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；

（1）画树状图为：

共有10种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为11，

所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；

（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，

所以两个项目都是径赛项目的概率P1==．

故答案为．

考点：列表法与树状图法．