2021-2022学年广西省贵港市重点中学中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°

2．计算：得（　　）

A．- B．- C．- D．

3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是(  )

A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1

4．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②1a﹣b=0；③4a+1b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y1）是抛物线上两点，则

y1＞y1．其中说法正确的是（ ）

A．①②    B．②③    C．①②④    D．②③④

5．在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

6．一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（  ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD＝(　　)

A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）

A．13 B．15 C．17 D．19

9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2

10． “五一”期间，某市共接待海内外游客约567000人次，将567000用科学记数法表示为（  ）

A．567×103    B．56.7×104    C．5.67×105    D．0.567×106

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．

12．化简的结果是_______________.

13．阅读材料：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x的代数式表示AC+CE的长为．然后利用几何知识可知：当A、C、E在一条直线上时，x=时，AC+CE的最小值为1．根据以上阅读材料，可构图求出代数式的最小值为_____．

14．=_____．

15．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是_____．

16．计算：|-3|-1=__．

17．使分式的值为0，这时x=_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

求反比例函数和一次函数的解析式；直接写出当x＞0时，的解集．点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

19．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD、CD．

（1）求证：AD＝CD；

（2）若AB＝10，OE＝3，求tan∠DBC的值．

20．（8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．

21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．求证：△ADE≌△CBF；若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

22．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C填空：b＝　  ，c＝　  ，点C的坐标为　  ．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．

23．（12分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．

（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是　   　；

（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．

24．（14分） “六一”期间，小张购述100只两种型号的文具进行销售，其中A种型号的文具进价为10元/只，售价为12元，B种型号的文具进价为15元1只，售价为23元/只．

（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？

（2）如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍，且要使销售文具所获利润不低于500元，则小张共有几种不同的购买方案？哪一种购买方案使销售文具所获利润最大？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．

由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．

考点：旋转的性质．

2、B

【解析】
同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．

【详解】

-

故选B.

【点睛】

本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3、C

【解析】

试题解析：关于的一元二次方程没有实数根，

，

解得：

故选C．

4、C

【解析】

∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0。

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0。

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴。∴b=1a＞0。

∴abc＜0，因此说法①正确。

∵1a﹣b=1a﹣1a=0，因此说法②正确。

∵二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），

∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）。

∴把x=1代入y=ax1+bx+c得：y=4a+1b+c＞0，因此说法③错误。

∵二次函数图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而＜3

∴y1＜y1，因此说法④正确。

综上所述，说法正确的是①②④。故选C。

5、A

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集．    2(1– x)＜4

去括号得：2﹣2ｘ＜4

移项得：2x＞﹣2，

系数化为1得：x＞﹣1，

故选A．   

“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

6、C

【解析】

试题解析：∵多边形的每一个内角都等于120°，

∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=10°，

∴边数n=310°÷10°=1．

故选C．

考点：多边形内角与外角．

7、C

【解析】
根据圆的弦的性质，连接DC，计算CD的长,再根据直角三角形的三角函数计算即可.

【详解】

∵D(0，3)，C(4，0)，

∴OD＝3，OC＝4，

∵∠COD＝90°，

∴CD＝ ＝5，

连接CD，如图所示：

∵∠OBD＝∠OCD，

∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝ ．

故选：C．

【点睛】

本题主要三角函数的计算,结合考查圆性质的计算，关键在于利用等量替代原则.

8、B

【解析】

∵DE垂直平分AC，

∴AD=CD，AC=2EC=8，

∵C△ABC=AC+BC+AB=23，

∴AB+BC=23-8=15，

∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

9、D

【解析】
根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．

【详解】

∵如图，在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴若1AD＞AB，即时，，

此时3S1＞S1+S△BDE，而S1+S△BDE＜1S1．但是不能确定3S1与1S1的大小，

故选项A不符合题意，选项B不符合题意．

若1AD＜AB，即时，，

此时3S1＜S1+S△BDE＜1S1，

故选项C不符合题意，选项D符合题意．

故选D．

【点睛】

考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．

10、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

567000=5.67×105，

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、60%

【解析】
设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．

【详解】

设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，

依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，

解得：x＝0.4y，

∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低×100%＝60%．

故答案为60%．

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

12、

【解析】
先将分式进行通分，即可进行运算.

【详解】

=-=

【点睛】

此题主要考查分式的加减，解题的关键是先将它们通分.

13、4

【解析】
根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题．

【详解】

如图所示：

C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，

若AB=5，DE=3，BD=12，

当A，C，E，在一条直线上，AE最短，

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴AB∥DE，

∴△ABC∽EDC，

∴，

∴，

解得：DC=．

即当x=时，代数式有最小值，

此时为：．

故答案是：4．

【点睛】

考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．

14、1

【解析】

分析：第一项根据非零数的零次幂等于1计算，第二项根据算术平方根的意义化简，第三项根据负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数计算.

详解：原式=1+2﹣2

=1．

故答案为：1．

点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、算术平方根的意义，负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键.

15、小李．

【解析】
解：根据图中的信息找出波动性大的即可：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，则这两人中的新手是小李．

故答案为：小李．

16、2

【解析】
根据有理数的加减混合运算法则计算.

【详解】

解：|﹣3|﹣1=3-1=2.

故答案为2.

【点睛】

考查的是有理数的加减运算、乘除运算，掌握它们的运算法则是解题的关键.

17、1

【解析】

试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.

答案为1.

考点：分式方程的解法

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.

【解析】
（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；

（2）根据图像解答即可；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.

【详解】

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；

∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y＝px+q，

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为，

令y＝0，得，

解得x＝，

∴点P的坐标为（，0）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.

19、（1）见解析；（2）tan∠DBC＝．

【解析】
（1）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得∠AEO＝90°，则根据垂径定理得到，从而有AD＝CD；

（2）先在Rt△OAE中利用勾股定理计算出AE，则根据正切的定义得到tan∠DAE的值，然后根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，从而可确定tan∠DBC的值．

【详解】

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴OE⊥AC，

∴，

∴AD＝CD；

（2）解：∵AB＝10，

∴OA＝OD＝5，

∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，

在Rt△OAE中，AE＝＝4，

∴tan∠DAE＝，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴tan∠DBC＝．

【点睛】

垂径定理及圆周角定理是本题的考点，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.

20、详见解析.

【解析】

试题分析：利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE．

试题解析：证明：由BE＝CF可得BC＝EF，

又AB＝DE，AC＝DF，

故△ABC≌△DEF（SSS），

则∠B=∠DEF，

∴AB∥DE．

考点：全等三角形的判定与性质.

21、（1）证明见解析；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由见解析.

【解析】
（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BEDF是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，

又∵AB∥CD，

∴BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF∥AE，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，

∵∠ADB是直角，

∴AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四边形BFDE是平行四边形，

∴四边形BFDE是菱形．

【点睛】

1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、菱形的判定

22、（3）3， 2，C（﹣2，4）；（2）y＝﹣m2+m ，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）S△PBA＝3．

【解析】
（3）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=4便可得C点坐标．
（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到，设点P坐标为（m，-m2+m+2），Q点坐标（n，-n+2），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用即可求解．
（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．

【详解】

（3）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（2，4），B（4，2）．

又∵抛物线过B（4，2）

∴c＝2．

把A（2，4）代入y＝﹣x2+bx+2得，

4＝﹣×22+2b+2，解得，b＝3．

∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+2．

令﹣x2+x+2＝4，

解得，x＝﹣2或x＝2．

∴C（﹣2，4）．

（2）如图3，

分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．

设P（m，﹣m2+m+2），Q（n，﹣n+2），

则PE＝﹣m2+m+2，QD＝﹣n+2．

又∵＝y．

∴n＝．

又∵，即

把n＝代入上式得，

整理得，2y＝﹣m2+2m．

∴y＝﹣m2+m．

ymax＝．

即PQ与OQ的比值的最大值为．

（3）如图2，

∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝25°

∠PBA+∠CBO＝25°

∴∠OBP＝∠CBO

此时PB过点（2，4）．

设直线PB解析式为，y＝kx+2．

把点（2，4）代入上式得，4＝2k+2．

解得，k＝﹣2

∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+2．

令﹣2x+2＝﹣x2+x+2

整理得， x2﹣3x＝4．

解得，x＝4（舍去）或x＝5．

当x＝5时，﹣2x+2＝﹣2×5+2＝﹣7

∴P（5，﹣7）．

过P作PH⊥cy轴于点H．

则S四边形OHPA＝（OA+PH）•OH＝（2+5）×7＝24．

S△OAB＝OA•OB＝×2×2＝7．

S△BHP＝PH•BH＝×5×3＝35．

∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝24+7﹣35＝3．

【点睛】

本题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的确定，以及利用待定系数法求解抛物线解析式常数的方法，再者考查了利用数形结合的思想将图形线段长度的比化为坐标轴上点之间的线段长度比的思维能力．还考查了运用图形割补法求解坐标系内图形的面积的方法．

23、（1）；（2）

【解析】
（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；
（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

解：（1）画树状图得：

共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，

所以都选择A通道通过的概率为，

故答案为：；

（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，

∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为．

【点睛】

考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．

24、（1）A种文具进货40只，B种文具进货60只；（2）一共有三种购货方案，购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．

【解析】
（1）设可以购进A种型号的文具x只，则可以购进B种型号的文具只，根据总价＝单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）根据题意列不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．

【详解】

（1）设A种文具进货x只，B种文具进货只，由题意得：

，

解得：x＝40，

，

答：A种文具进货40只，B种文具进货60只；

（2）设购进A型文具a只，则有，且；

解得：，

∵a为整数，

∴a＝48、49、50，一共有三种购货方案；

利润，

∵，w随a增大而减小，

当a＝48时W最大，即购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的实际问题，熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定，最值的求解方法是解决本题的关键.