2021-2022学年广东省阳江市教育局教研究室重点名校中考考前最后一卷数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

2．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．2018年春运，全国旅客发送量达29.8亿人次，用科学记数法表示29.8亿，正确的是（　　）

A．29.8×109 B．2.98×109 C．2.98×1010 D．0.298×1010

4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2

5．下列计算正确的是（　　）

A．2a2﹣a2＝1 B．（ab）2＝ab2 C．a2+a3＝a5 D．（a2）3＝a6

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为(　　)

A． B． C． D．

7．|﹣3|＝（　　）

A． B．﹣ C．3 D．﹣3

8．化简的结果为（    ）

A．﹣1 B．1 C． D．

9．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是(   )

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对

10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．20    B．16    C．12    D．8

11．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）

A．0.7×10﹣8 B．7×10﹣8 C．7×10﹣9 D．7×10﹣10

12．下列各数：π，sin30°，﹣ ，其中无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．

14．方程的解是_________．

15．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记为____________．

16．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为_______．

17．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为________________．

18．已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用、 表示）．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

（1）A、B两点之间的距离是　   　米，甲机器人前2分钟的速度为　   　米/分；

（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；

（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为　   　米/分；

（4）求A、C两点之间的距离；

（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．

20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠A＝∠ADE；

（2）若AB＝25，DE＝10，弧DC的长为a，求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S．（用含字母a的式子表示）．

21．（6分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求∠ACB的度数；

（3）点D是抛物线上的一动点，是否存在点D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，请求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

22．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中≌，可知，求得______．如图，在矩形的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．

求证：．

若，求的度数．

23．（8分）如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，OB与⊙O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）求证：△GOC∽△GEF；

（3）若AB=4BD，求sinA的值．

24．（10分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书“，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：

我们定义频率=，比如由表中我们可以知道在这次随机调查中抽样人数为50人课外阅读量为6本的同学为18人，因此这个人数对应的频率就是=0.1．

（1）统计表中的a、b、c的值；

（2）请将频数分布表直方图补充完整；

（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有600名学生，你认为根据以上调查结果可以估算分析该校八年级学生课外阅读量为7本和8本的总人数为多少吗？请写出你的计算过程．

25．（10分）问题探究

（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求的值；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；

（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值．

图3

26．（12分）在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB，BC分别交于点M，N，求证：BM=CN．

27．（12分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1．

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集．    2(1– x)＜4

去括号得：2﹣2ｘ＜4

移项得：2x＞﹣2，

系数化为1得：x＞﹣1，

故选A．   

“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

2、D

【解析】
先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.

【详解】

随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

至少有一次正面朝上的概率是，

故选：D.

【点睛】

本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.

3、B

【解析】
根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且为这个数的整数位数减1，由此即可解答．

【详解】

29.8亿用科学记数法表示为： 29.8亿=2980000000＝2.98×1．

故选B．

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4、D

【解析】
根据“一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝2，x2＝4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m和n的一元一次不等式，求出m和n的值，代入m+n即可得到答案．

【详解】

解：根据题意得：

x1+x2＝﹣m＝2+4，

解得：m＝﹣6，

x1•x2＝n＝2×4，

解得：n＝8，

m+n＝﹣6+8＝2，

故选D．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键．

5、D

【解析】
根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法判断D，由此即可得答案.

【详解】

A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；

B、(ab)2＝a2b2，故B错误；

C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；

D、(a2)3＝a6，故D正确，

故选D．

【点睛】

本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键．

6、A

【解析】
根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】

解：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ tanA=.

故选A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义内容是解题的关键.

7、C

【解析】
根据绝对值的定义解答即可.

【详解】

|-3|=3

故选：C

【点睛】

本题考查的是绝对值，理解绝对值的定义是关键.

8、B

【解析】
先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．

【详解】

解：．

故选B．

9、A

【解析】
由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断．

【详解】

解：由已知，AB=a，AB+BC=5，

当E在BC上时，如图，

∵E作EF⊥AE，

∴△ABE∽△ECF，

∴，

∴，

∴y=﹣，

∴当x=时，﹣，

解得a1=3，a2=（舍去），

∴y=﹣，

当y=时，=﹣，

解得x1=，x2=，

当E在AB上时，y=时，

x=3﹣=，

故①②正确，

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

10、B

【解析】
首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵AE=EB，

∴OE=BC，

∵AE+EO=4，

∴2AE+2EO=8，

∴AB+BC=8，

∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，

故选：B．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握

三角形的中位线定理，属于中考常考题型．

11、C

【解析】
本题根据科学记数法进行计算.

【详解】

因为科学记数法的标准形式为a×(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×，

故选C.

【点睛】

本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.

12、B

【解析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．

【详解】

sin30°=，=3，故无理数有π，-，

故选：B．

【点睛】

本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】

试题分析：根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长：

根据勾股定理得：，

由网格得：S△ABC=×2×4=4，且S△ABC=AC•BD=×5BD，

∴×5BD=4，解得：BD=.

考点：1.网格型问题；2.勾股定理；3.三角形的面积．

14、x=-2

【解析】

方程两边同时平方得：

，解得：，

检验：（1）当x=3时，方程左边=-3，右边=3，左边右边，因此3不是原方程的解；

（2）当x=-2时，方程左边=2，右边=2，左边=右边，因此-2是方程的解.

∴原方程的解为：x=-2.

故答案为：-2.

点睛：（1）根号下含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的基本思想是化“无理方程”为“有理方程”；（2）解无理方程和解分式方程相似，求得未知数的值之后要检验，看所得结果是原方程的解还是增根.

15、3.86×108

【解析】

根据科学记数法的表示（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）形式可得：

3.86亿=386000000=3.86×108.

故答案是：3.86×108.

16、64°

【解析】

解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=64°．故答案为64°．

点睛：本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

17、

【解析】
由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，利用非负数的性质得到k的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．

【详解】

∵方程x2+kx+＝0有两个实数根，

∴b2-4ac=k2-4（k2-3k+）=-2k2+12k-18=-2（k-3）2≥0，

∴k=3，

代入方程得：x2+3x+=（x+）2=0，

解得：x1=x2=-，

则=-．

故答案为-．

【点睛】

此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，求出k的值是本题的突破点．

18、

【解析】
根据向量的三角形法则表示出，再根据BC、AD的关系解答．

【详解】

如图，

∵，，

∴=-=-，

∵AD∥BC，BC=2AD，

∴==（-）=-．

故答案为-．

【点睛】

本题考查了平面向量，梯形，向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）距离是70米，速度为95米/分；（2）y=35x﹣70；（3）速度为60米/分；（4）=490米；（5）两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．

【解析】
（1）当x=0时的y值即为A、B两点之间的距离，由图可知当=2时，甲追上了乙，则可知（甲速度-乙速度）×时间=A、B两点之间的距离；

（2）由题意求解E、F两点坐标，再用待定系数法求解直线解析式即可；

（3）由图可知甲、乙速度相同；

（4）由乙的速度和时间可求得BC之间的距离，再加上AB之间的距离即为AC之间的距离；

（5）分0-2分钟、2-3分钟和4-7分钟三段考虑.

【详解】

解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，

甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；

（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，

∵1×（95﹣60）=35，

∴点F的坐标为（3，35），

则，解得，

∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；

（3）∵线段FG∥x轴，

∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；

（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；

（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距21米，

由题意得，60x+70﹣95x=21，解得，x=1.2，

前2分钟﹣3分钟，两机器人相距21米时，

由题意得，35x﹣70=21，解得，x=2.1．

4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），

设线段GH所在直线的函数解析式为：y=kx+b，则，

，解得，

则直线GH的方程为y=x+，

当y=21时，解得x=4.6，

答：两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，读懂图像是解题关键..

20、（1）见解析；（2）75﹣a.

【解析】
（1）连接CD，求出∠ADC=90°，根据切线长定理求出DE=EC，即可求出答案；

（2）连接CD、OD、OE，求出扇形DOC的面积，分别求出△ODE和△OCE的面积，即可求出答案

【详解】

（1）证明：连接DC，

∵BC是⊙O直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵∠C=90°，BC为直径，

∴AC切⊙O于C，

∵过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，

∴DE=CE，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠ACB=∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠A=∠ADE；

（2）解：连接CD、OD、OE，

∵DE=10，DE=CE，

∴CE=10，

∵∠A=∠ADE，

∴AE=DE=10，

∴AC=20，

∵∠ACB=90°，AB=25，

∴由勾股定理得：BC===15，

∴CO=OD=，

∵的长度是a，

∴扇形DOC的面积是×a×=a，

∴DE、EC和弧DC围成的部分的面积S=××10+×10﹣a=75﹣a．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

21、（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D点坐标为（1，2）或（4，﹣25）．

【解析】
（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣），展开得到﹣a=3，然后求出a即可得到抛物线解析式；

（2）作AE⊥BC于E，如图1，先确定C（0，3），再分别计算出AC=，BC=，接着利用面积法计算出AE=，然后根据三角函数的定义求出∠ACE即可；

（3）作BH⊥CD于H，如图2，设H（m，n），证明Rt△BCH∽Rt△ACO，利用相似计算出BH=，CH=，再根据两点间的距离公式得到（m﹣）2+n2=（）2，m2+（n﹣3）2=（）2，接着通过解方程组得到H（，﹣）或（），然后求出直线CD的解析式，与二次函数联立成方程组，解方程组即可．

【详解】

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣），即y=ax2﹣ax﹣a，∴﹣a=3，解得：a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+x+3；

（2）作AE⊥BC于E，如图1，当x=0时，y=﹣2x2+x+3=3，则C（0，3），而A（﹣1，0），B（，0），∴AC==，BC==

AE•BC=OC•AB，∴AE==．

在Rt△ACE中，sin∠ACE===，∴∠ACE=45°，即∠ACB=45°；

（3）作BH⊥CD于H，如图2，设H（m，n）．

∵tan∠DCB=tan∠ACO，∴∠HCB=∠ACO，∴Rt△BCH∽Rt△ACO，∴==，即==，∴BH=，CH=，∴（m﹣）2+n2=（）2=，①

m2+（n﹣3）2=（）2=，②

②﹣①得m=2n+，③，把③代入①得：（2n+﹣）2+n2=，整理得：80n2﹣48n﹣9=0，解得：n1=﹣，n2=．

当n=﹣时，m=2n+=，此时H（，﹣），易得直线CD的解析式为y=﹣7x+3，解方程组得：或，此时D点坐标为（4，﹣25）；

当n=时，m=2n+=，此时H（），易得直线CD的解析式为y=﹣x+3，解方程组得：或，此时D点坐标为（1，2）．

综上所述：D点坐标为（1，2）或（4，﹣25）．

【点睛】

本题是二次函数综合题．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定的性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求两函数交点问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

22、阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°

【解析】
阅读发现：只要证明，即可证明．

拓展应用：欲证明，只要证明≌即可．

根据即可计算．

【详解】

解：如图中，四边形ABCD是正方形，

，，

≌，

，

，

，

，

，

，

故答案为

为等边三角形，

，．

为等边三角形，

，．

四边形ABCD为矩形，

，．

．

，，

．

在和中，

，

≌．

；

≌，

，

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．

23、 (1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】
（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．

【详解】

证明：（1）∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切线．

（2）∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∵OD=OC，

∴OD•EG=OG•EF．

（3）∵AB=4BD，

∴BC=2BD，设BD=m，BC=2m，OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

即（r+m）2=r2+（2m）2，

解得：r=1.5m，OB=2.5m，

∴sinA=sinB=.

【点睛】

考查圆的综合题，考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

24、（1）10、0.28、1；（2）见解析；（3）6.4本；（4）264名；

【解析】
（1）根据百分比=计算即可；

（2）求出a组人数，画出直方图即可；

（3）根据平均数的定义计算即可；

（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可；

【详解】

（1）a=50×0.2=10、b=14÷50=0.28、c=50÷50=1；

（2）补全图形如下：

（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数==6.4（本）

（4）该校八年级共有600名学生，该校八年级学生课外阅读7本和8本的总人数有600×=264（名）．

【点睛】

本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25、（1）;（2）;（3）+.

【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD∽△BCE，可得＝；

（2）由题意可证点A，点Q，点C，点P四点共圆，可得∠QAC=∠QPC，可证△ABC∽△PQC，可得，可得当QC⊥AB时，PQ的值最小，即可求PQ的最小值；

（3）作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，由题意可证△ABC∽△DEC，可得，且∠BCE=∠ACD，可证△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的长，由三角形三边关系可求BD的最大值．

【详解】

（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，

∴BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠BCE=∠ACD，

∵＝＝，＝，

∴＝，∠BCE=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，

∴AC=，AB=2AC=，

∵∠QAP=∠QCP=90°，

∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，

∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，

∴△ABC∽△PQC，

∴，

∴PQ=×QC=QC，

∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，

即当QC⊥AB时，PQ的值最小，

此时QC=2，PQ的最小值为；

（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，

，

∵∠ADC=90°，AD=CD，

∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，

∴△ABC∽△DEC，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴∠BEC=∠ADC=90°，

∴CE=BC=2，

∵点F是EC中点，

∴DF=EF=CE=，

∴BF==，

∴BD≤DF+BF=+

【点睛】

本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．

26、证明见解析.

【解析】

试题分析：作于点F，然后证明≌ ，从而求出所所以BM与CN的长度相等．

试题解析：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，

则有AB=AE=EF=FC，

∴∠AEM=∠FEN，

在Rt△AME和Rt△FNE中，

∵E为AB的中点，

∴AB=CF，

∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，

∴Rt△AME≌Rt△FNE，

∴AM=FN，

∴MB=CN.

27、 (1)见解析；（2）m=2

【解析】
（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；

（2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.

【详解】

（1）∵在方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1中，△=（﹣6m）2﹣4（9m2﹣9）=26m2﹣26m2+26=26＞1．

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）关于x的方程：x2﹣6mx+9m2﹣9=1可化为：[x﹣（2m+2）][x﹣（2m﹣2）]=1，

解得：x=2m+2和x=2m-2，

∵2m+2＞2m﹣2，x1＞x2，

∴x1=2m+2，x2=2m﹣2，

又∵x1=2x2，

∴2m+2=2（2m﹣2）解得：m=2．

【点睛】

（1）熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程中，当时，原方程有两个不相等的实数根，当时，原方程有两个相等的实数根，当时，原方程没有实数根”是解答第1小题的关键；（2）能用“因式分解法”求得关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1的两个根是解答第2小题的关键.