2020届吉林省长春市普通高中高三上学期质量监测（一）数学（理）试题 PDF版
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长春市2020届高三质量监测（一）
数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A
7. D 8. A 9. C 10. B 11. C 12. C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13. 112 14. 2 15. 16. ，
三、解答题
- (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知，即，
由，可得，即是直角三角形. （6分）
（Ⅱ）的周长，，
由可知，，因此，即.
（12分）
- (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）取中点，连结、， . （6分）
（Ⅱ）以为原点，以方面为轴，以方向为轴，以方向为轴， 建立坐标系.
可得，，，，，
，，
平面的法向量为；
平面的法向量为；
因此.
即平面与平面所成的锐二面角为. （12分）
- (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查概率的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为. （4分）
（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为，
则的可能取值为30，35，40，45，50.
该考生本次测验选择题所得分数为的分布列为
30 | 35 | 40 | 45 | 50 | |
选择题所得分数为的数学期望为. （12分）
- (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为. （4分）
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点， ，联立直线与椭圆的方程消去可得
，即，.
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为. （12分）
- (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知，
单调递增，且，
当时，，当时，；
因此在上单调递减，在上单调递增. （4分）
（Ⅱ）由有两个零点可知
由且可知，
当时，，当时，；
即的最小值为，
因此当时，，
可知在上存在一个零点；
当时，，
可知在上也存在一个零点；
因此，即. （12分）
- (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）直线的普通方程为，
圆的直角坐标方程为. （5分）
（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得 ，化简可得.
则. （10分）
- (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）由题意
当时，，可得，即.
当时，，可得，即.
当时，，可得，即.
综上，不等式的解集为. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，
即，当且仅当时“=”成立，
可得，即，因此的最小值为2. （10分）
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