2022年河南省安阳市高考数学模拟试卷（文科）（含答案解析）

2022年河南省安阳市高考数学模拟试卷（文科）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 若，则

A.  B.  C. 25 D. 5

3. 若直线与双曲线C：的一条渐近线垂直，则a的值为

A.  B. 4 C.  D. 2

4. 已知等比数列的前n项和，则

A.  B.  C.  D.

5. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，冰上项目共有五种：冰壶、冰球、速度滑冰、短道速滑，花样滑冰，小王是一个冰上项目爱好者，他想前往现场观看，由于赛程的原因，他只能从五项冰上项目中选择其中三项进行观看，则小王恰好选中花样滑冰的概率为

A.  B.  C.  D.

6. “”是“”的

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 在中，点D在边AC上，且，若，则

A.  B. 3 C. 2 D. 2

8. 已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为

A.  B.  C. 2 D.

9. 已知为等差数列，，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n是

A. 2021 B. 4044 C. 4043 D. 4042

10. 已知圆C：，点M为直线l：上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为

A. 8 B.  C.  D.

11. 如图，在圆锥SO中，AC为圆锥的底面直径，，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为SA上一动点，设直线BM与平面SAC所成的角为，则的最大值为

A.  B.  C.  D.

12. 已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为

A.  B.  C.  D.

13. 已知向量，其中，若，则______.
14. 已知函数，则a，b，c三者的大小关系是______.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，则______.
16. 已知抛物线C：，不过原点O的直线l：与抛物线C交于M，N两点，设直线OM，ON的倾斜角分别为，，则______.
17. 某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如图所示：
    求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
    现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在的概率．

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
    求角C；
    是的角平分线，若的面积为，求c的值．
19. 已知空间几何体ABCDE中，与均为等边三角形，平面平面ABC，，，，平面
    求证：；
    若点E在平面ABC上的射影落在的平分线上，求点A到平面BCE的距离．
20. 已知椭圆上一个动点N到椭圆焦点的距离的最小值是，且长轴的两个端点，与短轴的一个端点B构成的的面积为
    求椭圆C的标准方程；
    如图，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于P，Q两点．证明：直线与直线的交点T在定直线上．
    
    
    
     

21. 已知函数
    当时，求函数在处的切线方程；
    对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
    求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
    设曲线的右顶点为A，射线与曲线，分别交于M，N两点，求的面积．
23. 已知a，b为正实数．
    证明：；
    若，证明：
    

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：，，
则
故选：
利用列举法表示A，求解函数定义域可得B，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查函数定义域的求法，是基础题．
 

2.【答案】D

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】B

【解析】解：由双曲线C：，得，
则，且双曲线的实半轴长为，虚半轴长为1，
其渐近线方程为，
而直线与双曲线C：的一条渐近线垂直，
，即
故选：
化双曲线方程为标准方程，求出其渐近线方程，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

4.【答案】A

【解析】解：等比数列的前n项和，
分别取，2，3，可得：，，，
解得：，，，
，
则，
故选：
等比数列的前n项和，分别取，2，3，可得：，，，解出即可得出结论．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】A

【解析】解：小王恰好选中花样滑冰的概率为
故选：
根据古典概型概率公式计算即可．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
 

6.【答案】A

【解析】解：令，则，
函数在R上单调递增，
又，
当时，，当时，，
”是“”的充分必要条件．
故选：
令，利用导数可知在R上单调递增，而，由此容易得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性及取值情况，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，在中，点D在边AC上，且，
则，
若，则，
必有，即；
故选：
根据题意，由向量的线性表示方法可得，又由向量数量积的性质可得，变形可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的线性运算，属于基础题．
 

8.【答案】C

【解析】解：函数经过点，
，，，，
，
令，得，
，，
在上只有一个零点，
，，
的最大值为
故选：
由函数经过点，结合余弦函数的性质、函数的零点定义进行求解，能求出的最大值．
本题考查余弦函数的图象和性质、函数零点定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】D

【解析】解：因为为等差数列，，，，
所以，，，
则，，
则使数列的前n项和成立的最大正整数n是
故选：
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】A

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为2，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，

所以有，，，
因此有，
要想四边形CAMB周长最小，只需MC最小，即当时，
此时，此时，
即最小值为，
故选：
根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可．
本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
 

11.【答案】C

【解析】解：如图，过点B作于点D，连MD，

平面ABC，平面ABC，，
又，，AC，平面SOC，
平面SOC，
又平面SOC，，故为直线BM与平面SAC所成的角，
在中，MD越小，越大，越大，
当时，MD最小，此时最大，
，为等腰直角三角形，
又，在中，，在中，，则，
在等腰直角三角形ADM中，，
在中，，
则
故选：
过点B作于点D，连MD，先证得为直线BM与平面SAC所成的角，证得当时，MD最小，此时最大，在中，解三角形即可求得结果．
本题考查了线面角的计算，属于中档题．
 

12.【答案】B

【解析】解：由于，则原不等式等价于恒成立，
令，则不等式可转化为恒成立，
令，，则，
显然，当且仅当时等号成立，
当时，，在上单调递增，则，符合题意；
当时，令，则，
在上单调递增，故存在，使得，
且当时，，单调递减，则，不合题意；
综上，实数m的取值范围为
故选：
问题等价于恒成立，令，进一步转化为恒成立，令，，对函数求导，然后分及讨论即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
 

13.【答案】1

【解析】解：，，
，解得，
，，解得，

故答案为：
根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出，再求出即可．
本题主要考查向量垂直的性质，考查方程思想，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：因为，即为偶函数，
又时单调递增，
，且，
所以，
故
故答案为：
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，
即，
可得，代入可得，

故答案为：
根据正弦定理和已知条件求得以及，再结合余弦定理即可求解结论．
本题考查正弦、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

16.【答案】

【解析】解：设，，
联立方程，可得，
，，
，，
，
M，N分别在一、四象限，，中一个为锐角，一个为钝角，
所以
故答案为：
设，，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，，表示出，，计算的值，再根据的范围求解即可得答案．
本题考查了直线与抛物的综合运用，属于中档题．
 

17.【答案】解：依题意可得，解得，
因为，所以中位数为于
设中位数为x，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为
从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作A、B，中抽取3人，记作a、b、c，
则从这5人中抽取2人进行问卷调查共，，，，，，，，，个基本事件；
满足这2人中至少有一人年龄在的共，，，，，，个基本事件，
所以，满足这2人中至少有一人年龄在的概率

【解析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出m，再根据中位数计算公式计算即可；
根据分层抽样，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可．
本题考查通过频率分布直方图求中位数及古典概型的概率公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由正弦定理及，知，
化简得，，
由余弦定理知，，
因为，所以
因为的面积，所以，
由角分线定理知，，
因为A，D，B三点共线，所以，
所以，
即，化简得，，
解得，
所以，
由知，，
所以

【解析】利用正弦定理化角为边，并由余弦定理，即可得解；
由，知，根据角分线定理可得，再由平面向量基本定理，知，将其两边平方，化简运算推出，然后结合中所得，即可．
本题考查查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，平面向量的线性和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取AC的中点M，连接DM，BM，

与均为等边三角形，则，，
，则平面BDM，
；
解：，平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，
设点E在平面ABC上的射影为G，连接GE，GC，则平面ABC，，
，即DEGM为平行四边形，
则，即G为的中心，
则，
设点A到平面BCE的距离为d，则，
即，解得，
点A到平面BCE的距离为

【解析】利用等腰三角形三线合一可得，，进而可证平面BDM；根据面面垂直的性质可证平面ABC，结合题意分析可得G为的中心，求相关长度利用等体积转换求解．
本题考查了线线垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题知：，解得，
即椭圆
证明：设直线l：，，，，，

，
则，，
则，
因为，
所以，解得
所以直线与直线的交点T在定直线上．

【解析】根据题意得到，再解方程组即可．
首先设直线l：，，，与椭圆联立，利用韦达定理得到，，，根据，即可得到，从而得到直线与直线的交点T在定直线上．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：当时，，
，，
函数在处的切线方程为；
，不等式恒成立等价于在上恒成立，
令，则，
令，，则，
函数在上单调递增，
又，故由零点存在性定理可知，存在，使得，
则，
令，，则，
在上单调递增，
又，故，
，则，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，则，
实数a的取值范围为

【解析】将代入，对函数求导，求得，，再利用点斜式即可得到答案；
问题等价于在上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查同构思想及分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：，曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；
曲线的右顶点为A，所以，
射线与曲线，分别交于M，N两点，
，解得；
，解得，
故，
利用点到直线的距离，
所以

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
直接利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】证明：要证，只需证，
即证，
即证，
即证，
即证，
由于，，故，即得证；
，
，
又a，b为正实数，
，
设，则，
，即，
，当且即当时等号成立，
，即

【解析】利用分析法可知只需证明，而这显然成立，即得证；
易知，换元令，可得，再利用基本不等式即可得证．
本题考查不等式的证明，涉及了分析法，换元法以及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．