长沙市实验中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题及参考答案

长沙市实验中学教育集团2021-2022学年度初二上学期期中联考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形.

考点：轴对称图形

2. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方的法则计算即可．

【详解】解：A. ，故此选项错误；

B. ，故此选项错误；

C. ，故此选项错误；

D. ，故此选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方的法则，正确掌握运算法则是解题关键．

3. 点关于x轴对称的点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.

【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数

∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）

故选B

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.

4. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）

A. 8或10 B. 8 C. 10 D. 6或12

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，

综上所述，它的周长是10．故选C．

考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．

5. 若，，则等于（　　）

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幂乘法法则的逆运算变性后，把，代入即可求值.

【详解】解：∵，，

∴==2×3=6.

故选B.

【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计算,培养学生的逆向思维意识.

6. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，AD=AE，能直接判定的方法是（    ）

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS

【答案】A

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定方法SAS证明即可．

【详解】解：∵在与中，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（   ）

A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD

【答案】D

【解析】

【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．

故选D．

8. 如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ）

A.  B.  C. 平分 D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．

【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，

∴∠B=∠C，（故A正确）

AD⊥BC，（故B正确）

∠BAD=∠CAD（故C正确）

无法得到AB=2BD，（故D不正确）．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．

9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．

【详解】解：由作法得平分，

点到的距离等于的长，即点到的距离为，

所以的面积．

故选C．

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．

10. 已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（     ）

A. 10 B. 12 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，

∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，
∴13•CE=10×12，
∴CE=，
∴PE+PB的最小值为，

故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：________．

【答案】x8

【解析】

【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可．

【详解】解：x3•x5=x3+5=x8，

故答案为：x8．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟记计算法则．

12. 已知等腰三角形的顶角是110°，则它的底角是_______．

【答案】##35度

【解析】

【分析】根据等腰三角形的定义及三角形内角和可求解．

【详解】解：由题意得：该等腰三角形的底角为；

故答案为．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形内角和是解题的关键．

13. 已知点P（a，1）关于y轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】首先表示出P点关于y轴对称点的坐标，再解不等式组得出答案．

【详解】解：∵点P（a，1）关于y轴对称的点（-a，1）在第一象限，

∴-a>0，

解得a<0，

故答案为：a<0．

【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点性质以及解一元一次不等式，关键是掌握各象限内点的坐标符号．

14. 如图，已知 ≌ ，点B，E，C，F在同一条直线上，若 ，则 =________．

【答案】7

【解析】

【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，然后根据BF=BE+EF计算即可得解．

【详解】∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF=5，

∴BF=BE+EF=2+5=7，

故答案为7．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

15. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果△DBC的周长等于9，BC=4，那么AC的长是______．

【答案】5

【解析】

【分析】根据垂直平分线的性质定理可得AD=BD，然后由△DBC的周长可求解．

【详解】解：∵AB的垂直平分线DE，

∴AD=BD，

∵，BC=4，

∴，

∴AC=CD+AD=CD+BD=5，

故答案为5．

【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．

16. 如图，△ABC中，AB=8，AC=10，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于点O，过O点作直线平行于BC，分别交AB，AC于点D，E，则△ADE的周长为______．

【答案】18

【解析】

【分析】根据分别平分得出相应角相等，再根据∥得出，从而得出，再根据角相等得出边相等，从而利用等量代换得出的周长．

【详解】解：∵分别平分

∴

∵∥

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴

【点睛】本题主要考查了角平分线以及平行线和等腰三角形的相关知识，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，以及运用三角形中等角对等边的知识是解答此题的关键．

三、解答题（本大题共有9小题，共72分）

17. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可直接进行求解；

（2）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项可直接进行求解．

【详解】解：（1）原式=；

（2）原式=．

【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．

18. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．

（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；

（2）求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．（2）

【解析】

【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．

【详解】（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．

（2）S△ABC=5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5=．

【点睛】本题考查了轴对称变换、三角形的面积等知识，解题的关键是正确得出对应点的位置．

19. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由“AAS”可证△AEB≌△DFC，可得AB＝CD．

【详解】证明：∵ABCD，

∴∠B＝∠C，

∵CE＝BF，

∴CE+EF＝BF+EF，

∴CF＝BE，

在△AEB和△DFC中，

，

∴△AEB≌△DFC（AAS），

∴AB＝CD．

【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

20. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC：

（2）已知AC=18，BE=4，求AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）求出，根据全等三角形判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．

【详解】（1）证明：，，

，

在和中，

，

∴，

，

，，

平分；

（2）解：，，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟悉相关性质是解题的关键．

21. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；

（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）65°（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.

【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，

∴∠EAD=∠BAC=25°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；

（2）∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB，

又AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC，

又∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE=AC，DE=DC

∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，

∴直线AD是线段CE的垂直平分线.

【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.

22. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，

（1）求证：DB=DE；

（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．

【答案】(1)见解析(2)36

【解析】

【详解】试题分析：（1）据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；（2）由（1）知，DB=DE，再由DF⊥BE，根据等腰三角形的三线合一的性质可得DF垂直平分BE，再由∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，可得∠CDF=30°，因为CF=3，根据30°角直角三角形的性质可得DC=6，即可得AC=12，所以△ABC的周长为36．

试题解析：

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠DBC=30°（等腰三角形三线合一），

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．       

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角对等边）．

（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB=DE，

∴DF垂直平分BE，

∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，

∴∠CDF=30°，

∵CF=3，

∴DC=6，

∵AD=CD，

∴AC=12，

∴△ABC的周长=3AC=36．

23. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM．

（1）求证：△AEF是等腰三角形；

（2）求证：DF=DN．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD=BC，根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，根据三角形的外角性质求出∠AFE=∠AEF=67.5°，推出AF=AE即可；
（2）求出∠BFD=∠AND，再根据全等三角形的判定定理推出即可．

【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD=BC，

∵∠ABC的平分线是BE，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=45°+22.5°=67.5°，

∠AEF=∠ACB+∠CBE=45°+22.5°=67.5°，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰三角形

（2）证明：∵AF=AE，M为EF的中点，∠CAD=45°，

∴∠CAN=∠CAD=22.5°，

∵AD⊥BC，

∴∠BDF=∠ADN=90°，

∵∠AND=∠ACB+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，

又∵∠BFD=∠AFE=67.5°，

∴∠BFD=∠AND，

在△BDF和△ADN中

，

∴△BDF≌△ADN（AAS）．

∴DF=DN

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解题的关键．

24. 在△ABC中，AB=AC=10cm．

（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME=     cm．

（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：

①FD       FE（填“>”、“=”或“＜”）；

②AM       DE （填位置关系）．

（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等?

【答案】（1）3；（2）①=，②⊥；（3）运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可求解；

（2）由题意易证Rt△ADM≌Rt△AEM，则有AD=AE，然后问题可求解；

（3）由题意易得AD=BD=5cm，然后根据△BDP与△PQC全等分两种情况进行分类求解即可．

【详解】解：（1）∵AB=AC，AM是△ABC的中线，

∴∠BAM=∠CAM，

又∵DM⊥AB，ME⊥AC，

∴MD=ME=3cm，

故答案为：3；

（2）在Rt△ADM和Rt△AEM中，

，

∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL），

∴AD=AE，

又∵∠BAM=∠CAM，

∴DF=EF，AM⊥DE，

故答案为：=，⊥；

（3）∵点D为AB的中点，

∴AD=BD=5cm，

∵△BDP与△PQC全等，

∴BP=CP，BD=CQ=5cm或BP=CQ，BD=PC=5cm，

当BP=CP，BD=CQ=5cm，

∴t=，

当BP=CQ，BD=PC=5cm，

∵BC=8cm，

∴BP=CQ=3cm，

∴t=，

综上所述：运动时间t为或时，△BDP与△PQC全等．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．

25. 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（-4，0），B（0，4），AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E（0，t）

（1）当t=1时，点C的坐标为       ；

（2）如图2，求∠ADO的度数；

（3）如图3，已知点P（0，3），若PQ⊥PC，PQ=PC，求Q的坐标（用含t的式子表示）．

【答案】（1）点C坐标（1，0）；（2）∠ADO=45°；（3）Q（-3，3-t）．

【解析】

【分析】（1）先证明△AOE≌△BOC，进而可得OE=OC=1，即可求得点C的坐标；

（2）过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据（1）的结论△AOE≌△BOC，，可得S△AOE=S△BOC，进而可得OM=ON，根据角平分线的判定定理即可求得∠ADO的度数

（3）过P作GH∥x轴，过C作CG⊥GH于G，过Q作QH⊥GH于H，交x轴于F，证明△PCG≌△QPH，即可求得CG=PH=3，PG=QH=t，进而求得Q的坐标．

详解】（1）如图1，当t=1时，点E（0，1），

∵AD⊥BC，   

∴∠EAO+∠BCO=90°，

∵∠CBO+∠BCO=90°，

∴∠EAO=∠CBO，

在△AOE和△BOC中，

∵，

∴△AOE≌△BOC（ASA），

∴OE=OC=1，

∴点C坐标（1，0）．

故答案：（1，0）；

（2）如图2，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，

∵△AOE≌△BOC，

∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，

∵OM⊥AE，ON⊥BC，

∴OM=ON，

∴OD平分∠ADC；

AD⊥BC

∴∠ADO=；

（3）如图3，过P作GH∥x轴，过C作CG⊥GH于G，过Q作QH⊥GH于H，交x轴于F，

∵P（0，3），C（t，0），

∴CG=FH=3，PG=OC=t，

∵∠QPC=90°，

∴∠CPG+∠QPH=90°，

∵∠QPH+∠HQP=90°，

∴∠CPG=∠HQP，

∵∠QHP=∠G=90°，PQ=PC，

∴△PCG≌△QPH，

∴CG=PH=3，PG=QH=t，

∴Q（-3，3-t）．

【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．