2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省龙岩市长汀县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 计算：，则中的数是

A.  B.  C.  D.

4. 在综合实践活动课上，小明用三根木棒首尾顺次相接摆三角形，下列每组数分别是三根木棒的长度单位：，其中能摆出直角三角形的一组是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 下列命题中，正确的是

A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形

6. 为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪如图所示，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时即测温仪自动显示体温，则人头顶高测温仪的距离等于

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 图是一张等腰直角三角形纸片，直角边的长度为，用剪刀沿一直角边和斜边的中点连线图中虚线剪开后，拼成如图的四边形，则该四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点是▱对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，把两个边长分别为，的小长方形沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到一个正方形中间空心部分记为正方形下列说法错误的是

A. 小正方形的边长为
B. 每个直角三角形的面积为
C. 大正方形面积是小正方形面积的倍
D. 大正方形的边长为

10. 如图，矩形中，为边上一动点含端点，为中点，为中点，当点由向运动时，下面对变化情况描述正确的是

A. 由小变大
B. 由大变小
C. 先变大后边小
D. 先变小后变大

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______ ．
12. 已知平行四边形的周长是，和交于，的周长比的周长小，则______．
13. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为______．
14. 如图，已知▱的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，的周长为，则的长为______．

15. 如图，长方形中，为的中点，将沿直线折叠时点落在点处，连接，若，则______度．
     

16. 如图，在中，，于点为线段上一点，连结，将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，若，，则的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 已知，，求下列各式的值．
    ；
    ．
19. 在▱中，点是对角线、的交点，点是边上一点，连接并延长交于点．
    求证：；
    已知▱的面积是，，，那么四边形的面积是______．

20. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离为米，与公路上另一停靠站的距离为米，且如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

21. 如图，已知，，点在边上，四边形是平行四边形．
    请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线．保留作图痕迹，不写作法
    请说明你的画法的正确性．
     

22. 如图是直角三角尺和等原直角三角尺放置在同一平面内，斜边合在一起，，，，交于点；作交的延长线于点．
    求证：四边形是正方形．
    当时，求正方形的边长．

23. 如图，斜靠墙上的一根竹竿长为，端点离墙角的水平距离长为．
    已知端沿向下移动到，，端将沿方向移动到，．
    当时，求的值；
    当时，求的值．
    在竹竿滑动的过程中，面积有最______值填“大”或“小”，该最值是______．

24. 如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线长度的平方是四边形某两边长度的乘积，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图，在这个四边形中，，满足，四边形是内亮四边形，是亮线．
    以下说法在确的是______填写序号．
    正方形不可能是闪亮四边形
    矩形有可能是闪亮四边形
    若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为
    如图，在四边形中，，，，，，四边形是否为闪亮四边形？如果是，哪条线段是亮线，并写出验证过程，如果不是，说明理由．

25. 如图，在平行四边形中，点为上一点，点与点关于对称．
    连接，，，已知与交于点，．
    求证：四边形是菱形．
    若点为的中点，求证：；
    若四边形是正方形，连接，，，当是直角三角形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】解：、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质、立方根的概念计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简、立方根的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意得：，
故选：．
所求的中应该是，对式子进行运算即可．
本题主要考查二次根式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】解：、，即以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，即以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，即以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
求出两小边的平方和和最大边的平方，看看是否相等即可作出判断．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理内容是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，
故选A．
利用平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理及矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理及矩形的判定定理，属于基础题，比较简单．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：
米，
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

7.【答案】

【解析】解：如图所示：

由题意可得：在图中，，则，
等腰直角三角形，直角边的长度为，
，
是的中点，
，
在图中，，
四边形的周长为：．
故选：．
如图，由题意可知，由等腰直角三角形可求得的长度为，则有，图中的的长度为，则可求四边形的周长．
本题主要考查了图形的剪拼，等腰直角三角形，解答的关键是明确剪拼前后哪些线段的长度相等．
 

8.【答案】

【解析】解：▱的对角线，交于点，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
又，
选项A正确，选项B、、不正确，
故选：．
证≌，得，，，进而得出结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：观察图形可知，小正方形的边长为，每个直角三角形的面积，
大正方形的边长为，
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
大正方形的面积是小正方形的面积的倍，
故A，，D正确，
故选：．
结合图像求出直角三角形的面积，大小正方形的边长可得结论．
本题考查图形的拼剪，正方形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，

为中点，为中点，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得，
，
当点由向运动时，
的长度逐渐减小，
减小，
由大变小，
故选：．
连接，则为的中位线，当点由向运动时，由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接，构造三角形中位线．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的概念直接解答即可
本题主要考查了开平方的能力，比较简单．
 

12.【答案】

【解析】解：▱的周长为，
，，
的周长比的周长小，
，
，．
故答案为：．
由▱的周长为，对角线，相交于，若的周长比的周长小，可得，，然后解此方程组，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

13.【答案】

【解析】解：三角形的三边长分别为、、，
，
这个三角形是直角三角形，斜边长为，
这个三角形的面积为，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，且周长为，
是的中点，，
点是的中点，
是的中位线，
的周长是的周长的倍，
即，
，
解得：，
故答案为：．
根据平行四边形的性质知为的中点，即可判断是的中位线，即，从而得出的周长是的周长的二倍，再根据是平行四边形周长的一半求出的长即可．
本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出 的度数是解题的关键．
由折叠的性质得： ， ， ，求出 ，由直角三角形的性质得出 ，求出 ，求出 ，由等腰三角形的性质求出 ，即可得出 的度数．
【解答】
解： 四边形 是长方形，
，
由折叠的性质得： ， ， ，
，
，
，
，
为 的中点，
，
，
，
；
故答案为 ．   

16.【答案】

【解析】解：，，，
，
，
，
，
在中，，
将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
的面积，
故答案为：．
由勾股定理得，再由面积法求出，则，然后由折叠的性质得，，则，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】首先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可求得答案．
此题考查了二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握最简二次根式与同类二次根式的定义．
 

18.【答案】解：当，时，



；

原式

．

【解析】将、的值代入计算即可；
将、的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减和乘除运算法则．
 

19.【答案】

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：点是平行四边形的对角线、的交点，
，
，，
，
又≌，
，
四边形的面积．
故答案为：．
依据四边形是平行四边形，即可得到，，，判定≌，即可得出；
依据点是平行四边形的对角线、的交点，可得，再根据≌，即可得到，进而得出四边形的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

20.【答案】解：公路不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过作于，
，
，
米，米，
由勾股定理得：米，
，
米，
由于米米，故没有危险，
因此段公路不需要暂时封锁．

【解析】过作于根据，得出，利用根据勾股定理有米．利用得的长，进而得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长．
 

21.【答案】解：如图，射线为所作；

连接、相交于，连接，
四边形为平行四边形，
，
，
为等腰三角形，
平分．

【解析】连接、相交于，然后连接即可；
先根据平行四边形的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到平分．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是正方形；
解：，，，
，，
设，
得，
解得：，
正方形的边长是．

【解析】根据垂直的定义得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形；
根据勾股定理得到，设，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】大 

【解析】解：由题意可知是直角三角形，
，，
，
，
．
；
当时，，，
由勾股定理得：，
即，
化简得，
，
；
大，理由如下：
以为底，过作的垂线，为垂足，取的中点，
，
在竹竿下滑过程中，当为的中线时，的面积最大，
最大值．
故答案是：大；．
在直角中利用勾股定理求得；然后在直角中，再次利用勾股定理求得线段的长度；最后结合图形求解；
当时，利用勾股定理列出方程，通过解该方程求得答案．
以为底，过作的垂线，为垂足，取的中点，结合得到当为的中线时，的面积最大．
本题考查了勾股定理的应用和转化思想，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式．
 

24.【答案】

【解析】解：设正方形的边长为，则对角线为，
，，
，
正方形不可能是闪亮四边形，正确；
设矩形的一组邻边为、，则对角线的平方为，
该矩形两边长乘积为，
若成立时，可满足闪亮四边形的定义，
，
恒成立，
矩形不可能是闪亮四边形，错误；
如图，

在菱形中，为对角线，
若菱形为闪亮四边形，则，
即：，
，
，为等边三角形，
，
，
若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个角为，正确；
故答案为：；

，，
，
，，
由勾股定理得，
如图，作于点，则四边形为矩形，

，，
在中，，
由勾股定理得，
，
在中，，
，
，
四边形是闪亮四边形，为亮线．
根据闪亮四边形的定义一一判断即可．
如图中，作于求出，即可判断．
本题属于相似三角形综合题，考查了矩形，菱形，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解新定义是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，

点，点关于对称．
，，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
如图，由得得四边形是菱形，

，
又，
，
，
解：四边形是正方形，是直角三角形，则有以下情况：
Ⅰ第一种情况：若时，则、、三点重合，得，
Ⅱ第二种情况：当时，如图，

四边形为正方形，
，
，
点与点关于对称，
，，
点为上一点，
为与的交点，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
即，
Ⅲ点为上一点，所以不存在，
综上所述：若四边形是正方形，是直角三角形，的值为或．

【解析】根据轴对称的性质和平行线的性质知，，，，则，从而得出四边形是菱形；
由中位线定理知，而，即可得出结论；
若时，则、、三点重合，得，当时，则为等腰直角三角形，当时，不存在．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类讨论思想是解题问题的关键．