2022年山西省中考数学试卷（含解析）

2022年山西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数为

A.  B.  C.  D.

2. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．年我国粮食总产量再创新高，达万吨．该数据可用科学记数法表示为

A. 吨 B. 吨
C. 吨 D. 吨

4. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的

A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割

5. 不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 化简的结果是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上邮票背面完全相同，让小乐从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算的结果为______．
12. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为______．

13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率单位：，结果统计如下：

则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是______填“甲”或“乙”．

14. 某品牌护眼灯的进价为元，商店以元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价______元．
    
    
     

15. 如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：；
    解方程组：．
17. 如图，在矩形中，是对角线．
    实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
    猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
18. 年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
19. 首届全民阅读大会于年月日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代奋进新征程”某校“综合与实践”小组为了解全校名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告不完整：
    中学学生读书情况调查报告

请根据以上调查报告，解答下列问题：
求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
估计该校名学生中，平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数；
该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．

20. 阅读与思考
    下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．

任务：上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______从下面选项中选出两个即可；
A.数形结合
B.统计思想
C.分类讨论
D.转化思想
请参照小论文中当时的分析过程，写出中当，时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______．

21. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．

22. 综合与实践
    问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
    猜想证明：
    如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
    问题解决：
    如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
    如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．

23. 综合与探究
    如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为过点作直线轴于点，作直线交于点．
    求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
    当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
    连接，过点作直线，交轴于点，连接试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数，可以直接得到答案．
此题主要考查了相反数的定义，同学们要熟练掌握相反数的定义．
 

2.【答案】

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

3.【答案】

【解析】解：万吨

吨，
故选：．
将较大的数写成科学记数法形式：，其中，为正整数即可．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为，
又黄金分割比为，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的黄金分割，
故选：．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求得的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得．
 

7.【答案】

【解析】解：



，
故选：．
根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设立春用表示，立夏用表示，立秋用表示，立冬用表示，树状图如下，

由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故选：．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
 

10.【答案】

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据折叠的想找得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则 按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】
解：原式 ．
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：设，
函数图象经过，
，
，
当时，物体所受的压强，
故答案为：．
设，把代入得到反比例函数的解析式，再把代入解析式即可解决问题．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】乙

【解析】解：甲的方差为：；
乙的方差为：．
，
两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
直接利用方差公式，进而计算得出答案．
此题考查了方差、平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】

【解析】解：设该护眼灯可降价元，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
设该护眼灯可降价元，根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，由勾股定理可得，从而可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
 

16.【答案】解：原式

；
得：，
，
将代入得：，
，
原方程组的解为．

【解析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可；
根据加减消元法求解即可．
本题考查了实数的运算，有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．

【解析】原来的燃油汽车行驶千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费元所行使的路程电动汽车所需电费元所行使的路程，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
 

19.【答案】解：平均每周阅读课外书的时间大约是小时的人数为人，占抽样学生人数的，
参与本次抽样调查的学生人数为：人，
从图书馆借阅的人数占总数人的，
选择“从图书馆借阅”的人数为：人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为人，选择“从图书馆借阅”的人数为人；
平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数占比为，
人，
答：该校名学生中，平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数为人；
答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．

【解析】由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是小时的人数为人，占抽样学生人数的，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的人数占总数人的，即可求解；
由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数占比为，即可求解；
由第一项可知阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少，由第二项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少等等．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握利用统计图提取所需信息．
 

20.【答案】  可用函数观点认识二元一次方程组的解答案不唯一

【解析】解：上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是；
故答案为：；
时，抛物线开口向上，
当时，有．
，
顶点纵坐标
顶点在轴的上方，抛物线与轴无交点，如图，

一元二次方程无实数根；
可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解答案不唯一．
根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和数形结合的思想；
参照小论文中的分析过程可得；
除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等式的解集等．
本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了数形结合数学的思想．
 

21.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为．

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，

，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．

【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，
令得，令得或，
，，，
设直线解析式为，将代入得：
，
解得，
直线解析式为；
过作于，如图：

设，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，，
∽，
，即，
解得舍去或，
；
存在点，使得，理由如下：
过作于，如图：

设，
由，可得直线解析式为，
根据，设直线解析式为，将代入得：
，
，
直线解析式为，
令得，
，
，
同可得四边形是矩形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，即，
或，
解得或或或，
在第一象限，
或．

【解析】由得，，，，用待定系数法可得直线解析式为，
过作于，设，可得，，，，而，，即得，证明∽，可得，即可解得；
过作于，设，根据，设直线解析式为，可得直线解析式为，从而，，证明≌，可得，即得，，故，可解得或．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质，矩形判定及性质，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．