第03讲 充分条件与必要条件-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

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第03讲 充分条件与必要条件       【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系         【基础知识】一、 “⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p是q的充分条件；2.p的充分条件是q.五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．（多选）（2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末）下列四个命题中为真命题的是（       ）A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于的方程有实数根的充要条件是D．若集合，则是的充分不必要条件【答案】AC【解析】且，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围 例3．（2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由已知可得，所以，.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．（2021-2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（       ）A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件【答案】BD【解析】由题意得，，，，，，所以，，，所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD.         【真题演练】1．（2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考）“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2021-2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试）设P：，q：，则p是q成立的（       ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3.（2021-2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考）下列说法正确的是（       ）A．是的充分不必要条件B．是的充要条件C．若，则是的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（       ）A． B． C． D．5.（2021-2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（       ）A． B． C．1 D．46.（2021-2022学年湖北省高一上学期期末调考）若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）7. （2021-2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考）给出下列命题：①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；②“”是“”的必要不充分条件；③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．8.（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．        【过关检测】1.（2021-2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中）“”是“”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ）A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜03.（2021-2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考）设，则“或”是“”的（       ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件4. （2021-2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考）在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的（       ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要5．（多选）（2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中）p是q的必要条件的是（       ）A． B．C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．，q：关于x的方程有唯一解6.（多选）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（       ）A． B．C． D．7. （多选）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（       ）A．是的充分条件 B．是的必要条件C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件8.下列命题：①“且”是“”的充要条件；②当时，“”是“方程有解”的充要条件；③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为______．9．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．10.（2021-2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围..