第05讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第05讲 等式性质与不等式性质

       【学习目标】

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

        【基础知识】

一、不等式基本性质

二、常用的结论

1.a>b，ab>0⇒<；

2.b<0<a⇒>；

3.a>b>0，c>d>0⇒>；

4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．

三、作差比较法的四个步骤

四、利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

1.实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件．

2.技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．

五、利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．

【考点剖析】

考点一：利用不等式性质判断不等关系的真假

例1．（2020-2021学年四川省成都市天府新区高一下学期期末）若a，b为实数，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；

对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；

对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确；

对于D，若，则，故D正确.故选D.

考点二：利用不等式性质比较大小

例2．已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，则，得，排除A、D．

若，则，得，即，排除C．

B是可能的，如：，，.故选B

考点三：作差法比较大小

例3．比较与的大小．

【答案】<

【解析】,

<.

考点四：利用不等式性质求变量范围

例4．（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，，所以，

所以的取值范围是，故选D.

考点五：利用不等式性质证明不等式

例5．求证：

(1)若，且，则；

(2)若，且，同号，，则；

(3)若，且，则．

【解析】 (1)证明：因为，所以，

又，故，

即；

(2)证明：因为，，所以 ，

因为，同号，所以 ，，

故，即 ，所以；

(3)证明：因为，所以 ，

又，所以 ，

故.

        【真题演练】

1．（2021-2022学年】内蒙古赤峰二中高一下学期第二次月考）下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，若，由可得：，A错误；

对于B，若，则，此时未必成立，B错误；

对于C，当时，，C错误；

对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.

故选D.

2.（2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学校高一下学期第二次月考）如果，那么下面不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选C.

3.（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【解析】，

因为，所以，

又，所以，即.故选B

4．（多选）（2021-2022学年广东省华附高一上学期10月月考）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中的假命题是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A：若，则，所以，故A正确；

对于B：若，，则，化为，可得，故B正确；

对于C：若，所以，，则，故，故C错误；

对于D：若，，则，所以，所以，，故D正确；

故选C

5.（多选）（2021-2022学年重庆市璧山中学校高一上学期12月月考）已知，，，均为实数，下列不等关系推导正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ACD

【解析】选项A：由不等式的基本性质可以判断A正确；

B选项：当时，，故B错误；

C选项：因为，不等式两边同乘，得：，不等式两边同乘，得：，所以，C正确；

6. （2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）已知1，2则4的取值范围为__________.

【答案】

【解析】根据题意，。即的取值范围为.

7.（2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期9月月考）已知真分数（b>a>0）满足>>>，….根据上述性质，写出一个全称量词命题或存在量词命题（真命题）________

【答案】，（答案不唯一）

【解析】∵真分数（b>a>0）满足>>>，…

∴，.

故答案为：，.

8. （2021-2022学年广西十八校高一10月联考）（1）比较与的大小；

（2）已知，求证：．

【解析】（1）由，

可得．

（2），

∵，∴，，，

∴，∴．

       【过关检测】

1.（2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末）若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A：当时，显然不成立；

B：当时，显然没有意义；

C：当时，显然不成立；

D：根据不等式的性质，由能推出，故选D

2. （2021-2022学年江苏省徐州市第三十六中学高一上学期10月月考）设，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，

当“”时，，所以，所以“”是“”的充分条件；

当时，有可能，不一定有，所以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分非必要条件.故选A

3. （2021-2022学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高一下学期期中）若，则下列不等式不能成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，，，，

又，所以，所以成立，

，所以，

，所以，

取可得，，，所以不成立，

故选D.

4. （2021-2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（       ）

A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定

【答案】A

【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油

设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升

则，且，

所以爸爸的加油方式更合算，故选A

5.（多选）（2021-2022学年浙江省舟山市定海一中高一下学期开学考试）若，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】ABD

【解析】选项A中， ， ，，又，，故A正确；

选项B中，，，又，，故B正确；

选项C中，取，则，，显然C不正确；

选项D中，，所以D正确.

故选ABD

6. （多选）（2021-2022学年广东省惠州市高一上学期期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（       ）

A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd

C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则

【答案】AC

【解析】由不等式性质逐项分析：

A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确

B选项：若，则，故B错误；

C选项：，，则，化简得，故C正确；

D选项：，，，则，故D错误.故选AC

7.（2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考）已知，，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】因为，，所以，，

则，所以

8. 已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.

【答案】B＜C＜A

【解析】方法一：

，

不妨令，

，

，

，

故答案为：B＜C＜A.

方法二：

∵，，

∴由排序原理可知：，

∵，

，

∴A＞C＞B﹒

9. 已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．

【答案】

【解析】由于，且，

所以，，

，

所以.

10. 已知，试比较 的大小.

【解析】

∵

∴ ，即.