第04讲 全称量词与存在量词-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

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1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定
【基础知识】
一、全称量词与全称命题
1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.
二、存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个,使p()成立,可简记为:∃∈M,p(),读作“存在M中的元素,使p()成立”.
(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.
三、全称命题与存在量词命题的否定
解读
1.常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.
常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.
2.写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
3.全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.
【考点剖析】
考点一：全称量词与全称命题
例1．（多选）（2021-2022学年河南省濮阳市范县高一上学期期中）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立
B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立
C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立
D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立
【答案】BC
【解析】A和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，∴B、C是全称量词命题.故选BC.
考点二：存在量词与存在量词命题
例2．（2021-2022学年河北省石家庄二十四中高一上学期期中）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（ ）
A．，B．所有的正方形都是矩形
C．，D．，使
【答案】C
【解析】A：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题；
B：命题为全称量词命题，不是存在量词命题；
C：命题为存在量词命题，，，故为假命题；
D：命题为存在量词命题，当时，，故为真命题.故选C
考点三：全称量词命题的否定
例3．（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，故选D
考点四：存在量词命题的否定
例4．（2021-2022学年贵州省遵义市第四中学高一上学期期末质量监测）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】命题“”的否定是“”，故选B
考点五：全称量词命题的真假
例5．（2021-2022学年辽宁省抚顺市六校协作体高一上学期期末）已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 “，方程有解”是真命题，故，解得：，故选B
考点六：存在量词命题的真假
例6．．已知命题，为假命题，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】∵命题，为假命题，∴命题，为真命题，
又，∴，即实数m的取值范围为.
【真题演练】
1．（2021-2022学年山东省临沂市四县区联考高一上学期期中）下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．，
B．当时，函数是增函数
C．存在平行四边形的对边不平行
D．平行四边形都不是正方形
2，（2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县高一上学期期中）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一上学期期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.（多选）（2021-2022学年安徽省部分市县高一上学期期末联考）已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ）
A．，有B．，使得
C．，有D．，使得
5. （多选）（2021-2022学年山东省泰安市肥城市高一上学期期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
6.（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知命题，则____________
7.（2021-2022学年安徽省部分市县高一上学期期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
8.（2021-2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中联考）设全集，集合，非空集合，其中.
(1)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围；
(2)若命题“，”是真命题，求a的取值范围.
【过关检测】
1.（2021-2022学年江苏省徐州市第三十六中学高一上学期期中）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021-2022学年重庆市实验中学高一上学期10月月考）下列是全称量词命题且是真命题的为（ ）
A．，B．､，都有x
C．，D．，，
3.（2021-2022学年浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x2+3