第06讲 基本不等式-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第06讲 基本不等式

       【学习目标】

1.掌握基本不等式

2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题．

        【基础知识】

一、几个重要的不等式

1.≤（a>0，b>0）

2.a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

3.＋≥2(a，b同号)．

4.ab≤2 (a，b∈R)．

5.≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

二、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

三、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

1.如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

2.如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

3.应用基本不等式时的三个关注点

(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.

(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.

(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.

4.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数

5.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．

四、基本不等式的其他应用

1.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小

2.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.

3.利用基本不等式证明不等式的策略

从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.

4.构造不等式求范围

利用或ab≤将式子转化为含ab或a+b的一元二次不等式，将ab，(a+b)作为整体解出范围

5．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.

6.利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案.

【考点剖析】

考点一：利用基本不等式判断命题的真假

例1．（2021-2022学年江西省赣州市赣县高一下学期开学考试）下列说法正确的为（       ）

A．

B．函数的最小值为4

C．若则最大值为1

D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8

【答案】C

【解析】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；

对于选项,，令，

即在上单调递增，则最小值为,

则不正确；对于选项,，则正确；

对于选项,当时，，当且仅当

时，即，等号成立，则不正确.故选.

考点二：利用基本不等式比较大小

例2．（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（       ）

A．＜＜ B．＜＜

C．＜＜ D．＜＜

【答案】B

【解析】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，

∴＜，故选B

考点三：利用基本不等式求最值

例3．（2021-2022学年吉林省延边州高一上学期期末）已知，则函数的最小值是（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】由题设，，∴，当且仅当时等号成立，∴函数最小值为.故选D.

考点四：利用基本不等式求范围

例4．(2021-2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)设，，且，求的取值范围

【解析】由得：，

又（当且仅当时取等号），，

解得：或（舍），，即的取值范围为

考点五：利用基本不等式证明不等式

例5．已知均为正实数，且满足证明：

(1)；

(2)．

【解析】 (1)均为正实数，则当且仅当时取“”，

同理可得：，当且仅当，时等号成立，

故当且仅当时取“”，

又，

故.

(2)

当且仅当时取“”，

同理当且仅当时取“”，

当且仅当时取“”．

又由，

可知．

当且仅当时取“”．

所以，

故．

当且仅当时取“”．

考点六：利用基本不等式求解恒成立问题

例6. 已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8

【答案】A

【解析】∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，

∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），

∵不等式m2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选A．

考点七：基本不等式在实际问题中的应用

例7. （2021-2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考）冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.

(1)求关于的解析式；

(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

【解析】 (1)∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，

∴可设，

∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，

∴可设，

又∵在距离车站5km处建仓库时，与分别为12.5万元和7万元，

∴，.

∴

∴.

(2)

当且仅当，即x＝6.5时等号成立，

∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．

        【真题演练】

1．（2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末）若，且，则的最大值为（       ）

A．4 B．2 C． D．

2.（2021-2022学年福建省三明第一中学高一上学期学段考）已知，，，则下列结论一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

3．（2021-2022学年贵州省六盘水红桥学校高一上学期期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（　　）

A．4 B．2 C． D．

4.（2021-2022学年安徽省阜阳市太和县三校高一上学期期中联考）下列命题中正确的是（       ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

5. （2021-2022学年甘肃省金昌市永昌县高一上学期期末）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于，下列说法准确的是（       ）

A．取得最小值时a＝ B．最小值是5

C．取得最小值时b＝ D．最小值是

6.（2021-2022学年安徽省宣城市泾县中学高一上学期10月月考）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒），平均车长（单位：米）的值有关，其公式为.如果不限定车型，，则最大车流量为__________辆/时.

7. （2021-2022学年广西河池市高一上学期八校联考）已知，求证.

8. （2021-2022学年湖北省孝感市高一上学期期中联考）已知且，求的最小值．

       【过关检测】

1. （2021-2022学年四川省南充市白塔中学高一下学期月考）已知，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2. （2021-2022学年江西省丰城中学高一下学期入学考试）已知都是正实数，若，则 的最小值为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

3. （2021-2022学年四川省内江市威远中学校高一下学期阶段性测试）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4. （2021-2022学年河南省开封市高一上学期期末）已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（     ）

A．如果积等于定值，那么当时，和有最大值

B．如果和等于定值，那么当时，积有最小值

C．如果积等于定值，那么当时，和有最小值

D．如果和等于定值，那么当时，积有最大值

5.（多选）（2021-2022学年山东省枣庄市滕州市高一上学期期末）设正实数满足，则（       ）

A．的最小值为

B．的最小值为2

C．的最大值为1

D．的最小值为2

6.（多选）（2021-2022学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中）有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7. （2021-2022学年上海市延安中学高一上学期期中）已知，，，则在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）

8.已知，，，则的最小值为__．

9. （2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）（1）已知，，，求的最小值；

（2）已知，求的最大值.

10.（2021-2022学年江苏省南通市海安市高一上学期期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？