高三数学变式题组训练《三角形“四心”的相关向量问题》

高三 《三角形“四心”的相关向量问题》

【母题】

1.若G是△ABC所在平面上一点，且满足＋＋＝,则点G是ABC的      心;

2.若O是△ABC所在平面上一点，且满足，则点O是△ABC的      心;

3.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的      心.

4.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，

则点P的轨迹一定通过△ABC的       心；

变式题

【变式1】三角形的重心相关向量问题

例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过△ABC的（ C   ）

A 外心   B 内心   C 重心   D  垂心

例2、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，点O满足则O点一定是△ABC的（  C   ）

A 外心   B 内心   C 重心   D  垂心

【变式2】三角形的外心相关向量问题

例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的（ A   ）

A 外心      B 内心       C 重心      D  垂心

例4、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的（ A   ）

A 外心      B 内心       C 重心      D  垂心

【变式3】三角形的垂心相关向量问题

例5、已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:

则O是△ABC的_垂___心。

【变式4】三角形的内心相关向量问题

例5、已知非零向量与满足              ，则△ABC为（   ）

A 三边均不相等的三角形     B  直角三角形  

C 等腰非等边三角形         D  等边三角形

【母题】三个不共线的向量满足=+) == 0，则O点是△ABC的(    )

A. 垂心          B. 重心           C. 内心         D. 外心

变式体系

变式题

【变式1—三角形的内心相关向量问题】

已知O是△ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是△ABC的(    )

A. 外心         B. 内心        C. 重心          D. 垂心

【变式2-三角形的外心相关向量问题）

已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过△ABC的(    )

A. 重心          B. 垂心          C. 外心         D. 内心

【变式3-三角形的重心相关向量问题】

已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC的(    )

A. 外心         B. 内心          C. 重心         D. 垂心

【变式4-三角形的垂心相关向量问题】

已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则O点是△ABC的(    )

A. 外心         B. 内心        C. 重心          D. 垂心

参考答案

（母题）解析：表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由= 0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C

（变式1）解析：∵，，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分∠BAC. 又、共线，知AO平分∠BAC. 同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.

（变式2）解析：设BC的中点为D，则，

则由已知得， 

∴

=== 0 .

∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心. 选C .

（变式3）由已知得，

∴，即= 0，由上题的结论知O点是△ABC的重心. 故选C

（变式4）由，则，即，

得，所以. 同理可证，.

∴O是△ABC的垂心. 选D.