专题21 空间几何体（讲义+练习）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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第21讲  空间几何体学校____________          姓名____________          班级____________ 一、知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点 轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环 2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3二、考点和典型例题1、空间几何体的结构特征【典例1-1】（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（       ）A．cm B．1cm C．cm D．cm【答案】D【详解】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，则，，解得，．所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，即,过点作,为垂足，所以， 该圆台形容器的高为，故选：D．【典例1-2】（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（       ）A． B． C．4 D．【答案】C【详解】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.取BC的中点E，连接.因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.因为，所以在直角三角形中,，则的面积为，故该四棱锥的侧面积是.故选：C【典例1-3】（2022·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图， 设圆台上底面圆的半径，则所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，所以母线长，所以，故选：C.【典例1-4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题得,所以.故选：B．【典例1-5】（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（       ）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】D【详解】分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥即，则圆柱的侧面积为故选：D． 2、空间几何体的表面积、体积【典例2-1】（2022·山东泰安·模拟预测）在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，设四棱锥内切球的半径为r，因为，四棱锥的表面积，所以，所以四棱锥内切球的表面积为.故选：B.【典例2-2】（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.【典例2-3】（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．【典例2-4】（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.【典例2-5】（2022·山东临沂·三模）战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意，铜镞的直观图如图所示，三棱锥的体积，因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积所以此铜镞的体积为故选：A. 3、与球有关的切、接问题【典例3-1】（2022·北京·101中学三模）一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（       ）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】设球的半径为，则 ，解得 设四棱柱的高为 ，则 ，解得 故选：C【典例3-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若正三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的体积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为，设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，因为，即   所以，即，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.【典例3-3】（2022·湖北·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，所以顶点到底面圆圆心的距离为：，所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，所以.故选：A.【典例3-4】（2022·山东聊城·三模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设球半径为，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为，设母线为，则，所以直角圆锥的侧面积为：，可得：，，圆锥的高，由，解得：，所以球的体积等于，故选：B【典例3-5】（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又则当且仅当即时等号成立，故选：C