专题11 导数与函数的极值、最值（讲义+练习）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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第11练  导数与函数的极值、最值 学校____________          姓名____________          班级____________ 一、单选题1．函数在上的极大值点为（       ）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为.故选：C.2．函数有（       ）A．极大值点3 B．极小值点3C．极大值点1 D．极小值点1【答案】A【详解】∵，∴，当时,单调递增；当时,单调递减.∴在处取得极大值，即只有一个极值点，且是极大值点，故选：.3．设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，不等式在上恒成立，则对上恒成立，设，，则，令，解得，所以当，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取极大值，即为最大值，最大值为，所以，，所以的取值范围为故选：B4．已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（       ）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】解：，，，，，，令，则或，当或时，，即函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减；所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，故函数在区间上的最大值为，故选：A．5．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D.6．设 ，若为函数的极小值点，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】 ，若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，必有 ，即 ，若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，必有，即；故选：C.7．已知函数，，若≥恒成立，则实数a的取值范围是(       )A． B． C． D．【答案】C【详解】，令，则，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，∵，∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，∴≥恒成立，则．故选：C．8．函数满足：对，都有，则函数的最小值为（       ）A．-20 B．-16 C．-15 D．0【答案】B【详解】解：因为函数满足：对，都有，所以，即，解得，所以，则，，，当或时，，当时，，所以的最小值为，故选：B二、多选题9．已知函数，下列结论中正确的是（       ）A．函数在时，取得极小值-1；B．对于，恒成立；C．若，则；D．若对于恒成立，则a的最大值为．【答案】BCD【详解】因为，所以，所以，所以不是函数的极值点，故A错；若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减；又，所以，即，所以，故C正确；因为函数在上单调递减；所以时，函数也单调递减，因此在上恒成立；在上恒成立，即a的最大值为，故D正确.故选：BCD.10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A． B．C．时，取得最大值 D．时，取得最小值【答案】AB【详解】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；对于D，由单调性知，D错误.故选：AB.11．已知函数，则（       ）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【详解】解：因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值 因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．12．已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】已知，则，令，则考虑函数，则，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故的图象大致如图：依题意，若有两个极值点，则，即，因此选项D正确；由图易知，，，故选项A正确；又，故，因为，所以，故选项C正确；因为，即，故，即.由于，，所以，从而，故选项B错误.故答案为：ACD.三、解答题13．已知函数．（1）求的图象在点处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）最大值与最小值分别为与．【解析】（1）因为，所以所以．所以的图象在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知令，则；令，则．所以在上单调递减，在上单调递增．所以又，所以．所以在上的最大值与最小值分别为与．14．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．【答案】(1)；(2)的单调递增区间为，，单调递减区间为；最大值为，最小值为.【解析】(1)当时，定义域为，，，，故在点处的切线方程为：，即；(2)由题意得：，，故，此时，经检验，符合要求，，令时，，，令得：或，令得：，的单调递增区间为，，单调递减区间为；又当时，恒成立，当时，恒成立，故，，即最大值为，最小值为.15．已知函数，其中．(1)求的最小值；(2)证明：．【解析】(1), 令，解得，由为增函数知，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为.(2)令，则，由时，，时，，可知在上递减，在上递增，所以当时，取最小值. 故，即对.故，故而对，，故原式得证.16．已知函数，．(1)当时，若为的极大值点，求a的取值范围；(2)证明：当时，．【解析】(1)∵，∴，由，可得或，当时，，函数在R上单调递增，函数无极值，故不符合题意，当时，，单调递增，，单调递减，所以为的极大值点；综上，的取值范围为；(2)由上可知，，由，可得，当时，，函数在上单调递增，∴，当时，，单调递减，，单调递增，∴，综上，当时，．