2021-2022学年河北省保定唐县联考中考猜题数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
2.已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点,且AB=3cm,AC=3 cm,则∠BAC的度数为( )
A.15° B.75°或15° C.105°或15° D.75°或105°
3.A种饮料比B种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元,如果设B种饮料单价为x元/瓶,那么下面所列方程正确的是( )
A.2(x1)+3x=13 B.2(x+1)+3x=13
C.2x+3(x+1)=13 D.2x+3(x1)=13
4.如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤.其中正确结论的是( )
A.①③④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④⑤
5.如图,某计算机中有、、三个按键,以下是这三个按键的功能.
(1).:将荧幕显示的数变成它的正平方根,例如:荧幕显示的数为49时,按下后会变成1.
(2).:将荧幕显示的数变成它的倒数,例如:荧幕显示的数为25时,按下后会变成0.2.
(3).:将荧幕显示的数变成它的平方,例如:荧幕显示的数为6时,按下后会变成3.
若荧幕显示的数为100时,小刘第一下按,第二下按,第三下按,之后以、、的顺序轮流按,则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少( )
A.0.01 B.0.1 C.10 D.100
6.y=(m﹣1)x|m|+3m表示一次函数,则m等于( )
A.1 B.﹣1 C.0或﹣1 D.1或﹣1
7.将某不等式组的解集表示在数轴上,下列表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90º,AB=6,BC=8,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
10.下列计算正确的是( )
A. B.0.00002=2×105
C. D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.等腰中,是BC边上的高,且,则等腰底角的度数为__________.
12.规定一种新运算“*”:a*b=a-b,则方程x*2=1*x的解为________.
13.计算:+(|﹣3|)0=_____.
14.如图,直线a∥b,∠l=60°,∠2=40°,则∠3=_____.
15.如图,在平面直角坐标系中有矩形ABCD,A(0,0),C(8,6),M为边CD上一动点,当△ABM是等腰三角形时,M点的坐标为_____.
16.点 C 在射线 AB上,若 AB=3,BC=2,则AC为_____.
三、解答题(共8题,共72分)
17.(8分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E为CD边上一点,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.
(1)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半径.
18.(8分)体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况,从该校九年级136名女生中,随机抽取了20名女生,进行了1分钟仰卧起坐测试,获得数据如下:
收集数据:抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩(个)如下:
38 46 42 52 55 43 59 46 25 38
35 45 51 48 57 49 47 53 58 49
(1)整理、描述数据:请你按如下分组整理、描述样本数据,把下列表格补充完整:
范围
25≤x≤29
30≤x≤34
35≤x≤39
40≤x≤44
45≤x≤49
50≤x≤54
55≤x≤59
人数
(说明:每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分)
(2)分析数据:样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示:
平均数
中位数
满分率
46.8
47.5
45%
得出结论:①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为 ;
②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下:
平均数
中位数
满分率
45.3
49
51.2%
请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩,为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估,并提出相应建议.
19.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点E是上的一点,∠DBC=∠BED.求证:BC是⊙O的切线;已知AD=3,CD=2,求BC的长.
20.(8分)艺术节期间,学校向学生征集书画作品,杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班 (用A,B,C,D表示),对征集到的作品的数量进行了统计,制作了两幅不完整的统计图.请 根据相关信息,回答下列问题:
(1)请你将条形统计图补充完整;并估计全校共征集了_____件作品;
(2)如果全校征集的作品中有4件获得一等奖,其中有3名作者是男生,1名作者是女生,现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会,请你用列表或树状图的方法,求选取的两名学生恰好是一男一女的概率.
21.(8分)一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行,已知高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99千米,且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时,求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度.
22.(10分)计算:2sin30°﹣|1﹣|+()﹣1
23.(12分)如图,在城市改造中,市政府欲在一条人工河上架一座桥,河的两岸PQ与MN平行,河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭,小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°,然后沿河岸走了110米到达C处,测得∠BCP=30°,求这条河的宽.(结果保留根号)
24.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E.
(1)求证:△DCE≌△BFE;
(2)若AB=4,tan∠ADB=,求折叠后重叠部分的面积.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1、B
【解析】
首先过点A作AM⊥BC,根据三角形面积求出AM的长,得出直线BC与DE的距离,进而得出直线与圆的位置关系.
【详解】
解:过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∴AM×BC=AC×AB,∴AM===2.1.
∵D、E分别是AC、AB的中点,∴DE∥BC,DE=BC=2.5,∴AN=MN=AM,∴MN=1.2.
∵以DE为直径的圆半径为1.25,∴r=1.25>1.2,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是:相交.
故选B.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系,利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键.
2、C
【解析】
解:如图1.∵AD为直径,∴∠ABD=∠ACD=90°.在Rt△ABD中,AD=6,AB=3,则∠BDA=30°,∠BAD=60°.在Rt△ABD中,AD=6,AC=3,∠CAD=45°,则∠BAC=105°;
如图2,.∵AD为直径,∴∠ABD=∠ABC=90°.在Rt△ABD中,AD=6,AB=3,则∠BDA=30°,∠BAD=60°.在Rt△ABC中,AD=6,AC=3,∠CAD=45°,则∠BAC=15°.故选C.
点睛:本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识,掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键,注意分情况讨论思想的运用.
3、A
【解析】
要列方程,首先要根据题意找出题中存在的等量关系,由题意可得到:买A饮料的钱+买B饮料的钱=总印数1元,明确了等量关系再列方程就不那么难了.
【详解】
设B种饮料单价为x元/瓶,则A种饮料单价为(x-1)元/瓶,
根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了1元,
可得方程为:2(x-1)+3x=1.
故选A.
【点睛】
列方程题的关键是找出题中存在的等量关系,此题的等量关系为买A中饮料的钱+买B中饮料的钱=一共花的钱1元.
4、D
【解析】
根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得,然后求出MD=2AM=4EM,判断出④正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=MF,判断出⑤正确;过点M作MN⊥AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,根据正方形的性质求出BO,然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°,从而判断出③正确.
【详解】
在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,
∵E、F分别为边AB,BC的中点,
∴AE=BF=BC,
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠AMD=180°-(∠ADE+∠DAF)=180°-90°=90°,
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°,故①正确;
∵DE是△ABD的中线,
∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB,故②错误;
∵∠BAD=90°,AM⊥DE,
∴△AED∽△MAD∽△MEA,
∴
∴AM=2EM,MD=2AM,
∴MD=2AM=4EM,故④正确;
设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,
在Rt△ABF中,AF=
∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
∴△AME∽△ABF,
∴ ,
即,
解得AM=
∴MF=AF-AM=,
∴AM=MF,故⑤正确;
如图,过点M作MN⊥AB于N,
则
即
解得MN=,AN=,
∴NB=AB-AN=2a-=,
根据勾股定理,BM=
过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,
则OK=a-=,MK=-a=,
在Rt△MKO中,MO=
根据正方形的性质,BO=2a×,
∵BM2+MO2=
∴BM2+MO2=BO2,
∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正确;
综上所述,正确的结论有①③④⑤共4个.
故选:D
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,勾股定理逆定理的应用,综合性较强,难度较大,仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键.
5、B
【解析】
根据题中的按键顺序确定出显示的数即可.
【详解】
解:根据题意得: =40,
=0.4,
0.42=0.04,
=0.4,
=40,
402=400,
400÷6=46…4,
则第400次为0.4.
故选B.
【点睛】
此题考查了计算器﹣数的平方,弄清按键顺序是解本题的关键.
6、B
【解析】
由一次函数的定义知,|m|=1且m-1≠0,所以m=-1,故选B.
7、B
【解析】
分析:本题可根据数轴的性质画出数轴:实心圆点包括该点用“≥”,“≤”表示,空心圆点不包括该点用“<”,“>”表示,大于向右小于向左.
点睛:不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分:
故选B.
点睛:本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
8、C
【解析】
熟记反证法的步骤,然后进行判断即可.
解答:解:举反例应该是证明原命题不正确,即要举出不符合叙述的情况;
A、∠α的补角∠β>∠α,符合假命题的结论,故A错误;
B、∠α的补角∠β=∠α,符合假命题的结论,故B错误;
C、∠α的补角∠β<∠α,与假命题结论相反,故C正确;
D、由于无法说明两角具体的大小关系,故D错误.
故选C.
9、B
【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小,根据三角形中位线定理即可求解.
【详解】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小。
∵OD⊥BC,BC⊥AB,
∴OD∥AB,
又∵OC=OA,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=AB=3,
∴DE=2OD=6.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是利用三角形中位线定理进行求解.
10、D
【解析】
在完成此类化简题时,应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式.有些需要先提取公因式,而有些则需要运用公式法进行分解因式.通过分解因式,把分子分母中能够分解因式的部分,分解成乘积的形式,然后找到其中的公因式约去.
【详解】
解:A、原式= ;故本选项错误;
B、原式=2×10-5;故本选项错误;
C、原式= ;故本选项错误;
D、原式=;故本选项正确;
故选:D.
【点睛】
分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算,如果有乘方,还应根据分式乘方法则先乘方,即把分子、分母分别乘方,然后再进行乘除运算.同样要注意的地方有:一是要确定好结果的符号;二是运算顺序不能颠倒.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11、,,
【解析】
分三种情况:①点A是顶角顶点时,②点A是底角顶点,且AD在△ABC外部时,③点A是底角顶点,且AD在△ABC内部时,再结合直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.
【详解】
①如图,若点A是顶角顶点时,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∵,
∴AD=BD=CD,
在Rt△ABD中,∠B=∠BAD=
;
②如图,若点A是底角顶点,且AD在△ABC外部时,
∵,AC=BC,
∴,
∴∠ACD=30°,
∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°;
③如图,若点A是底角顶点,且AD在△ABC内部时,
∵,AC=BC,
∴,
∴∠C=30°,
∴∠BAC=∠ABC=(180°-30°)=75°;
综上所述,△ABC底角的度数为45°或15°或75°;
故答案为,,.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质,解题的关键是要分情况讨论.
12、
【解析】
根据题中的新定义化简所求方程,求出方程的解即可.
【详解】
根据题意得:x-×2=×1-,
x=,
解得:x=,
故答案为x=.
【点睛】
此题的关键是掌握新运算规则,转化成一元一元一次方程,再解这个一元一次方程即可.
13、
【解析】
原式= .
14、80°
【解析】
根据平行线的性质求出∠4,根据三角形内角和定理计算即可.
【详解】
解:
∵a∥b,
∴∠4=∠l=60°,
∴∠3=180°-∠4-∠2=80°,
故答案为:80°.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理,掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键.
15、(4,6),(8﹣2,6),(2,6).
【解析】
分别取三个点作为定点,然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的M的坐标.
【详解】
解:当M为顶点时,AB长为底=8,M在DC中点上,
所以M的坐标为(4, 6),
当B为顶点时,AB长为腰=8,M在靠近D处,根据勾股定理可知ME==2
所以M的坐标为(8﹣2,6);
当A为顶点时,AB长为腰=8,M在靠近C处,根据勾股定理可知MF==2
所以M的坐标为(2,6);
综上所述,M的坐标为(4,6),(8﹣2,6),(2,6);
故答案为:(4,6),(8﹣2,6),(2,6).
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、坐标与图形性质,解题关键是根据对等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用.
16、2或2.
【解析】
解:本题有两种情形:
(2)当点C在线段AB上时,如图,∵AB=3,BC=2,∴AC=AB﹣BC=3-2=2;
(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图,∵AB=3,BC=2,∴AC=AB+BC=3+2=2.
故答案为2或2.
点睛:在未画图类问题中,正确画图很重要,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.
三、解答题(共8题,共72分)
17、(1)作图见解析;(2)⊙O的半径为.
【解析】
(1)作出相应的图形,如图所示;
(2)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行,可得同旁内角互补,再由AE与BE为角平分线,可得出AE与BE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AF与FB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据sin∠AGF的值,确定出sin∠AEB的值,求出AB的长,即可确定出圆的半径.
【详解】
解:(1)作出相应的图形,如图所示(去掉线段BF即为所求).
(2)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°.
∵AB为⊙O的直径,点F在⊙O上,
∴∠AFB=90°,∴∠FAG+∠FGA=90°.
∵AE平分∠DAB,
∴∠FAG=∠EAB,∴∠AGF=∠ABE,
∴sin∠ABE=sin∠AGF==.
∵AE=4,∴AB=5,
∴⊙O的半径为.
【点睛】
此题属于圆综合题,涉及的知识有:圆周角定理,平行四边形的判定与性质,角平分线性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.
18、(1)补充表格见解析;(2)①61;②见解析.
【解析】
(1)根据所给数据分析补充表格即可.(2)①根据概率公式计算即可. ②根据平均数、中位数分别进行分析并根据分析结果给出建议即可.
【详解】
(1)补充表格如下:
范围
25≤x≤29
30≤x≤34
35≤x≤39
40≤x≤44
45≤x≤49
50≤x≤54
55≤x≤59
人数
1
0
3
2
7
3
4
(2)①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为136×≈61,
故答案为:61;
②从平均数角度看,该校女生1分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平,整体水平较好;
从中位数角度看,该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平,该校测试成绩的满分率低于区县水平;
建议:该校在保持学校整体水平的同事,多关注接近满分的学生,提高满分成绩的人数.
【点睛】
本题考查的是统计表的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
19、 (1)证明见解析
(2)BC=
【解析】
(1)AB是⊙O的直径,得∠ADB=90°,从而得出∠BAD=∠DBC,即∠ABC=90°,即可证明BC是⊙O的切线;
(2)可证明△ABC∽△BDC,则,即可得出BC=.
【详解】
(1)∵AB是⊙O的切直径,
∴∠ADB=90°,
又∵∠BAD=∠BED,∠BED=∠DBC,
∴∠BAD=∠DBC,
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°,
∴∠ABC=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵∠BAD=∠DBC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=AC•CD=(AD+CD)•CD=10,
∴BC=.
考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定和性质.
20、(1)图形见解析,216件;(2)
【解析】
(1)由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数,再求得D班级的数量,可补全条形图,再用36乘四个班的平均数即估计全校的作品数;
(2)列表得出所有等可能结果,从中找到一男、一女的结果数,根据概率公式求解可得.
【详解】
(1)4个班作品总数为:件,所以D班级作品数量为:36-6-12-10=8;
∴估计全校共征集作品×36=324件.
条形图如图所示,
(2)男生有3名,分别记为A1,A2,A3,女生记为B,
列表如下:
A1
A2
A3
B
A1
(A1,A2)
(A1,A3)
(A1,B)
A2
(A2,A1)
(A2,A3)
(A2,B)
A3
(A3,A1)
(A3,A2)
(A3,B)
B
(B,A1)
(B,A2)
(B,A3)
由列表可知,共有12种等可能情况,其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种.
所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为.
【点睛】
考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
21、这辆高铁列车全程运行的时间为1小时,平均速度为264千米/小时.
【解析】
设动车组列车的平均速度为x千米/小时,则高铁列车的平均速度为(x+99)千米/小时,根据时间=路程÷速度结合高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【详解】
设动车组列车的平均速度为x千米/小时,则高铁列车的平均速度为(x+99)千米/小时,
根据题意得:﹣=3,
解得:x1=161,x2=﹣264(不合题意,舍去),
经检验,x=161是原方程的解,
∴x+99=264,1320÷(x+99)=1.
答:这辆高铁列车全程运行的时间为1小时,平均速度为264千米/小时.
【点睛】
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用,解答时根据条件建立方程是关键,解答时对求出的根必须检验,这是解分式方程的必要步骤.
22、4﹣
【解析】
原式利用绝对值的代数意义,特殊角的三角函数值,负整数指数幂的法则计算即可.
【详解】
原式=2×﹣( ﹣1)+2
=1﹣+1+2
=4﹣.
【点睛】
本题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
23、米.
【解析】
试题分析:根据矩形的性质,得到对边相等,设这条河宽为x米,则根据特殊角的三角函数值,可以表示出ED和BF,根据EC=ED+CD,AF=AB+BF,列出等式方程,求解即可.
试题解析:作AE⊥PQ于E,CF⊥MN于F.
∵PQ∥MN,
∴四边形AECF为矩形,
∴EC=AF,AE=CF.
设这条河宽为x米,
∴AE=CF=x.
在Rt△AED中,
∵PQ∥MN,
∴在Rt△BCF中,
∵EC=ED+CD,AF=AB+BF,
解得
∴这条河的宽为米.
24、(1)见解析;(2)1
【解析】
(1)由矩形的性质可知∠A=∠C=90°,由翻折的性质可知∠A=∠F=90°,从而得到∠F=∠C,依据AAS证明△DCE≌△BFE即可;
(2)由△DCE≌△BFE可知:EB=DE,依据AB=4,tan∠ADB=,即可得到DC,BC的长,然后再Rt△EDC中利用勾股定理列方程,可求得BE的长,从而可求得重叠部分的面积.
【详解】
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=90°,AB=CD,
由折叠可得,∠F=∠A,BF=AB,
∴BF=DC,∠F=∠C=90°,
又∵∠BEF=∠DEC,
∴△DCE≌△BFE;
(2)∵AB=4,tan∠ADB=,
∴AD=8=BC,CD=4,
∵△DCE≌△BFE,
∴BE=DE,
设BE=DE=x,则CE=8﹣x,
在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2,
∴(8﹣x)2+42=x2,
解得x=5,
∴BE=5,
∴S△BDE=BE×CD=×5×4=1.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
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