2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生加练）

2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生加练）

一、单选题

1．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP=5，则EF=5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是(　　)

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

2．如图，正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q。当DQ=2CQ时，BP的长为(　　)

A． B． C． D．

3．在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，将线段EF向右平移m个单位，使得点E落在CD上，F落在BC上，已知AE+EF+CF=24，CD=10，则m的值为（　　）

A．6 B．4 -2 C．4  D．2 +2

4．如图，在菱形 中，M、N分别是 和 的中点， 于点P，连接 ，若 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

5．如图， 、 是正方形 的边 上的两个动点，满足 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，若正方形的边长为2，则线段 的最小值是（　　） 

A．2 B．1 C． D．

6．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG．若AG＝8，四边形CEGF的面积为18，则该正方形的边长为（　　）

A．10 B．12 C．5＋2  D．12－

7．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE； ②AD=BP； ③PE+PF= PC； ④PE+PF=PC.其中正确的是（　　）

A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③

8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） 

A．2 B．2.4 C．3.2 D．3.6

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝6，分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1﹣S2+S3+S4的值是（　　）

A．12 B．24 C． D．

10．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD上的点且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；SΔAOB=S四边形DEOF；⑤∠BAE=∠AFB，其中正确的有（　　） 

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

11．如图，C为线段 上一动点，分别过B，D作 ， ，连接 ， ，已知 ， ， ，设 .请用含x的代数式表示 的长为　               　，根据上述方法，求出 的最小值为　     　. 

12．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当△BPQ为等腰三角形时，AP的长为　              　．

13．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25.小正方形的面积为3.

（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边 ， 　     　.

（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形 ，中间的小正方形为正方形 ，连接 ，交 于点P，交 于点M， 　     　.

14．如图，在直角三角形 中，直角边 ， ，以它的三边分别作出了正方形 、 、 ，把 、 、 的面积分别记为 、 、 ，则 　     　. 

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为　         　.

16．如图，正方形 的边长为 ， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为　     　. 

三、解答题

17．如图，在矩形 中， ， ，若点M、N分别是线段 、 上的两个动点，则求 的最小值.

18．如图，在平面直角坐标系中长方形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(0，8) ，(20，0)，D是OC的中点，点P在AB上运动，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，求点P的坐标.

19．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形；

20．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10,0）,（0,4）,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.

21．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．

（1）AM与BD的关系是：　           　 ． 

（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求 的值． 

22．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.

（1）求证：EO=FO；  

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；  

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。  

四、综合题

23．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和点M，给出定义：若M满足：MA＝MB，则称M是线段AB的“对称点”，其中，当0°＜∠AMB＜90°，称M为线段AB的“劣对称点”；当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.

（1）如图1，点A，B的坐标分别为（0，2），（2，0），则在坐标M1（0，0），M2（2，3），M3（4，4）中，是线段AB的“对称点”为：　     　；是线段AB的“劣对称点”为　     　.

（2）如图2，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），若M为线段AB的“优对称点民主点”，求出点M的横坐标m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点P为x轴上的动点（不与B重合），若T为AB的“对称点”，当线段TB与TP的和最小时，直接写出T关于直线AB的对称点S的坐标.

24．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝110°.E为BC的中点，直线FG经过点E，DG⊥FG于点G，BF⊥FG于点F.

（1）如图1，当∠BEF＝70°时，求证：DG＝BF；

（2）如图2，当∠BEF≠70°时，若BC＝DC，DG＝BF，请直接写出∠BEF的度数；

（3）当DG－BF的值最大时，直接写出∠BEF的度数.

25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝ x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC. 

（1）求直线AC的函数表达式；

（2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积；

（3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】；13

12．【答案】3或2或或8

13．【答案】（1）

（2）

14．【答案】18

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】解：作点A关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于H.

∵ ， ，

∴ ，

∴ 是等边三角形，

∵四边形 是矩形，

∴ ，

在 中，∠ABD=30°，BC=8，
∴BD=16，AB= ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ 的最小值为12.

18．【答案】解：∵A（0，8），C（20，0），四边形OABC是矩形，D是OC的中点，

∴OA＝8，OD＝10，∠OAB＝∠COA＝ ，

①当OP＝OD＝10时，

过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8.

在Rt△PEO中，由勾股定理得：OE＝ ，

即P点的坐标是（6，8）；

②当DP＝OD＝10时，

过P作PE⊥OC于E，

 则PE＝OA＝8，

由勾股定理得：DE＝ ，

OE＝10-6＝4，

即P点坐标是（4，8）；

③当OP＝DP＝10时，

由勾股定理得：DE＝OE＝ ，

即OD=DE+OE=12≠10，即此时不存在；

④当OD＝PD时，

过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8

在Rt△PED中，由勾股定理得：DE= ，

∴OE=OD+DE=10+6=16

∴此时点P坐标为（16，8）.

故P点的坐标为:（6，8）或（4，8）或（16，8）.

19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ，

∴∠EBF＝∠AFB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∵BO⊥AE，

∴∠AOB＝∠EOB＝90°，

∵BO＝BO，

∴△BOA≌△BOE（ASA），

∴AB＝BE，

∴BE＝AF， ，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

20．【答案】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5； 

（2）OD是等腰三角形的一条腰时：

①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

在直角△OPC中，CP=   =3，则P的坐标是（3，4）；

②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

过D作DM⊥BC于点M，

在直角△PDM中，PM= =3，

当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；

当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．

故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

21．【答案】（1）相等且垂直

（2）成立，
理由：∵四边形ACDE正方形，四边形BCMN正方形，
∴AC=CD    MC=BC   ∠ACD=∠BCM=90°，
∴ ∠ACD+∠DCM=∠BCM+∠DCM，
即∠ACM=∠BCD，
在△ACM与△DCB中，

∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD ，∠MAC=∠BDC，
同（1）可证AM⊥DB，
∴AM=BD且AM⊥DB.

（3） 解：如图，

∵AM⊥DB，
∴∠DOM=∠AOB=∠AOD=∠BOM=90°，
由勾股定理得OD2+OM2=DM2，OD2+OA2=AD2，OB2+OM2=MB2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+DM2=OD2+OM2+OA2+OB2=AD2+BM2，
∵AD=AC＝4，BM=BC＝2 ，
∴AB2+DM2=（4）2+（2）2=40.

22．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB， 

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）解：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形． 

如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE= ∠ACB，

同理，∠ACF= ∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（3）解：△ABC是直角三角形 

∵四边形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．

23．【答案】（1）M1，M3；M3

（2）解：如图，作线段AB的垂直平分线M1，M2，

∴AM1=AM2，
∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0）
∴点C的坐标为（1，2），
∵若M为线段AB的“优对称点民主点”，
∴AM1=M1B=AM2=BM2，
∵当90°≤∠AMB≤180°时，则称M为“优对称点”.
当∠AM1B=90°时
四边形AM1BM2是正方形，
∴点M的横坐标就是m的取值范围，
∴-1≤m≤3.

（3）解：S（2,2.5）

24．【答案】（1）证明：过C点作CH⊥FG于点F，

∵CH⊥FG，DG⊥FG，BF⊥FG，

∴∠DGH=∠CHE=∠CHM=∠BFE=90°，

∵E为BC的中点，

∴BE=EC，

又∵∠BEF=∠CEH

∴△BFE≌△CHE（AAS）

∴CH=BF，

∵∠BEF＝70°

∴∠CEH=70°，

∵∠C＝110°，

∴FG//DC，

∴∠CHE=∠HCD=∠DGH=∠GDC=90°，

∴四边形CHGD为矩形，

∴GD=CH=BF；

（2）∠BEF =35°

（3）∠BEF=20°

25．【答案】（1）解：∵B(0，2)在直线AB： 上 

∴m=2

即直线的解析式为：

令 ，得

∴A(-4，0)，且OA=4

∴OC=OA=4

∵点C在y轴负半轴上

∴C(0，-4)

设直线AC的表达式为： ，其中

把A、C两点的坐标分别代入 中，得：

解得：

∴直线的表达式为：

（2）解：把直线AC向上平移9个单位后的表达式为：  ，即

解方程组：   ，消去y，得

∴x=2

把x=2代入 中，得y=3

故方程组的解为：

即点D的坐标为(2，3)

过点D作DF⊥y轴于点F，如图

则DF=2

∵B(0，2)

∴OB=2

∴BC=OB +OC=2+4=6

∴

=18

（3）解：令 ，得x=5 

∴E(5，0)

∵点M在直线 上

∴设点M的坐标为

①当点E、D、M、N是以ED为对角线的矩形时，则ME⊥MD

∴

即：

解得： 或

∵矩形的对角线相互平分

故有：

∴

当t=2时，点M坐标为(2，3)，故点M与点D重合，不合题意

当 时， ，

即点N的坐标为

②当点E、D、M、N是以EM为对角线的矩形时，则DE⊥DM

则

即

解得t=2，即点M与点D重合，不合题意

③当点D、E、M、N是以EN为对角线的矩形时，则ME⊥ED

则

即

解得：t=14

∴M(14，9)

∵矩形的对角线相互平分

∴

即

∴ ，

即点N的坐标为(11，12)

综上所述，满足条件的点N的坐标为 或