2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：一元二次方程（优生集训）

这是一份2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：一元二次方程（优生集训），共16页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝1r 是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求msnt 的值.
2．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由.
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，cm，AB＝6 3cm，BC=6cm，点P从点A出发，以每秒 3cm的速度沿AB匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3cm的速度沿B→C→A匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，直接写出P，Q两点间的距离．
（2）是否存在t，使得△BPQ的面积是△ABC面积的 512 ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当△BPQ为直角三角形时，求t的取值范围．
4．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= 2 c，这时我们把关于x的形如ax2+ 2cx +b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ 2cx +b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ 2cx +b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是
12 2 ，求△ABC面积.
5．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 t ，则另一个根为 2t ，因此 ax2+bx+c=a(x−t)(x−2t)=ax2−3atx+2t2a ，所以有 b2−92ac=0 ；我们记“ K=b2−92ac ”即 K=0 时，方程 ax2+bx+c=0 为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①2x2−3x+1=0 ；方程②x2−2x−8=0 ；方程③x2+x=−29 这几个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
（2）若 (x−1)(mx−n)=0 是倍根方程，则 2nm 的值为 ；
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数.
（2）设BC＝a，AC＝b.
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由.
②若AD＝EC，求 ab 的值.
7．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示．设步道的宽为a(m)．
（1）求步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．己知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．
8．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超出1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：设该商店购进并销售学习机x台。（假设进货数量与你出数量相等）
（1）当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价：
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元?
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台?
9．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问：
（1）P、Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33cm2?
（2）P、Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10cm?
10．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）
11．“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．
（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？
（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑 12m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．
12．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
13．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
（1）若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
14．“饺子“又名“交子”或者“娇耳”，是新旧交替之意，它是重庆人民的年夜饭必吃的一道美食．今年除夕，小侨跟着妈妈一起包饺子准备年夜饭，体验浓浓的团圆气氛．已知小侨家共10人，平均每人吃10个饺子，计划用10分钟将饺子包完．
（1）若妈妈每分钟包饺子的速度是小侨速度的2倍少2个，那么小侨每分钟至少要包多少个饺子？
（2）小侨以（1）问中的最低速度，和妈妈同时开始包饺子，妈妈包饺子的速度在（1）问的最低速度基础上提升了 54a%，在包饺子的过程中小侨外出耽误了 a40 分钟，返家后，小侨与妈妈一起包完剩下的饺子，所用时间比原计划少了 12a%，求a的值．
15．如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．
问：
（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？
（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？
16．已知关于x的一元二次方程 ax2+(2+2a)x+a+2=0(a≠0) ．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．
17．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．已知某地区从2017年1月到5月的共享单车投放量如右图所示．
（1）求1月至2月共享单车投放量的增长率；
（2）求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率．
18．已知关于x的一元二次方程 x2+mx+12m−1=0 ．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）选择一个m的值，并求出此时方程的根．
19．某商业街有店面房共195间，2014年平均每间店面房的年租金为10万元，由于物价上涨，到2016年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元，据预测，当每间的年租金定为12.1万元时，可全部租出；若每间的年租金每增加1万元，就要少租出10间．该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用1.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）求2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率；
（2）当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益（收益=租金﹣各种费用）为2305万元？
20．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=x1x2﹣5，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝ 13 ，x2＝ 12
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得 ar2 + br +1＝0，
∴1r 是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝ 1r 是方程②的根
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝ 1a ，
∴a＝ 1st ＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴msnt ＝1
2．【答案】（1）24
（2）解：设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意.
答：边CD的长为10米
（3）解：不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：x2﹣16x+70＝0.
∵△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米.
3．【答案】（1）221
（2）存在，
由题意知：BQ=3tcm，BP=AB-AP=（63-3t）cm，
S △BPQ =12BP×BQ=12×3t（63-3t）=-332t2-93t，
又S △ABC=12AB×BC=12×63×6=183cm2，
∴-332t2-93t=512×183，
解得：t=1或t=5，
∵t=5时，Q点在AC上，经验证，不能满足△BPQ的面积是△ABC面积的512 ，
综上，t=1；
（3）解：①当∠B=90°时，
3t≤633t0，
解得：040时，每台学习机利润；[（-5x+1000）-（-2x+700）]=（-3x+300)元
x（-3x+300)=4800.
得到：x1=80，x2=20(含弃）
当x≤40时，每台利润：[800-（-2x+700）]元
x（2x+100)-4800,
得到；x1=30，x2=-80(含弃）
答：商店可能购进并销售学习机80台或30台。
9．【答案】（1）解：设P、Q两点从开始经过xs，四边形PBCQ的面积为33cm2.
则由题意得(16－3x＋2x)×6× 12 ＝33，
解得x＝5.∵16÷3＝ 163 >5，∴x＝5符合题意．
答：出发5s时四边形PBCQ的面积是33cm2
（2）解：设P、Q两点从开始出发ys，点P与点Q之间的距离是10cm.
过点Q作QH⊥AB于H，
∴∠QHA＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形ADQH是矩形，∴AH＝DQ＝(16－2y)cm，QH＝AD＝6cm，
∴PH＝|16－2y－3y|＝|16－5y|(cm)．
在Rt△PQH中，有(16－5y)2＋62＝102，解得y1＝1.6，y2＝4.8.
答：出发1.6s或4.8s时，点P与点Q之间的距离是10cm.
10．【答案】（1）解：根据小亮的设计方案列方程得：（52﹣x）（48﹣x）=2300
解得：x=2或x=98（舍去）
∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m
（2）解：作AI⊥CD，垂足为I，
∵AB∥CD，∠1=60°，
∴∠ADI=60°，
∵BC∥AD，
∴四边形ADCB为平行四边形，
∴BC=AD
由（1）得x=2，
∴BC=HE=2=AD
在Rt△ADI中，AI=2sin60°= 3
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+（ 3 ）2=2299平方米
11．【答案】（1）解：设小货车每次运送x顶，则大货车每次运送（x+200）顶，
根据题意得：2×[2（x+200）+8x]=16800，
解得：x=800．
∴大货车原计划每次运：800+200=1000顶
答：小货车每次运送800顶，大货车每次运送1000顶
（2）解：由题意，得2×（1000﹣200m）（1+ 12 m）+8（800﹣300）（1+m）=14400，
解得：m1=2，m2=21（舍去）．
答：m的值为2
12．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜ 12 ．
∴m的取值范围为m＜ 12
（2）解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22= (x1+x2)2 ﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1
13．【答案】（1）.解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x 1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6
（2）解：7为底当边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17
14．【答案】（1）解：设小侨每分钟包x个饺子，则妈妈每分钟包（2x﹣2）个饺子，得：
10x+10（2x﹣2）≥10×10
解得：x≥4
（2）解：依题意得：小侨每分钟包4个饺子，妈妈每分钟包饺子数量为 6×(1+54a%)=6+340a. 包饺子总时间为 10×(1−12a%)=10−120a. 列得方程： (6+340a)(10−120a)+4(10−120a−140a)=100, 解得：a1＝0（舍去），a2＝40
答：（1）小侨每分钟包至少包4个饺子；（2）a的值为40．
15．【答案】（1）解：设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），
∵PA=PB，
∴（2﹣4x）2+32=22+（3﹣5x）2，
解得 x=149 或0（舍弃），
答：经过 149 小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．
（2）解：设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．
∵B，P，A共线，
∴∠BPE=∠PAF，
∴tan∠BPE=tan∠PAF，
∴5y−32=34y−2,
解得： y=1011 或0（舍弃），
答：离开路口经过 1011 小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上.
16．【答案】（1）证明：∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0，
∴此方程总有两个不等实根
（2）解： x=−2−2a±22a ，
x1=−1 ， x2=−2a−42a=−a−2a=−1−2a ．
∵ 方程的根均为整数，
∴a=±1，±2 ．
17．【答案】（1）解： (3.2−2.5)÷2.5=28%
（2）解： 3.2(1+x)2=7.2
(1+x)2=2.25
1+x=±1.5
x1=0.5，x2=−2.5(舍)
18．【答案】（1）证明：∵Δ= m2−4(12m−1) = m2−2m+4 = (m−1)2+3 ，
无论m取何值时， (m−1)2≥0 ，
∴(m−1)2+3 >0，即△>0.
∴此方程有两个不相等的实数根.
（2）解：当 m=0 时，原方程为 x2−1=0 ，∴x1=1，x2=−1.
19．【答案】（1）解：设2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得出：
10（1+x）2=12.1，
解得：x1=10%，x2=﹣2.1（不合题意舍去），
答：2014年至2016年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%
（2）解：当每间店面房的年租金上涨x万元时，该商业街的年收益（收益=租金﹣各种费用）为2305万元，
故根据题意得出：
（12.1+x﹣1.1）（195﹣10x）﹣0.5×10x=2305，
整理得出：x2﹣8x+16=0，
解得：x1=x2=4．
答：当每间店面房的年租金上涨4万元时，该商业街的年收益（收益=租金﹣各种费用）为2305万元
20．【答案】（1）解：∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得：k≤ 12
（2）解：∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，
∵x1+x2=x1x2﹣5，
∴2（k﹣1）=k2﹣5，即k2﹣2k﹣3=0，
解得：k=﹣1或k=3．
∵k≤ 12 ，
∴k=﹣1