2021-2022学年湖南省怀化市溆浦县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省怀化市溆浦县八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是

A.  B.  C.  D.

2. 在中．，是边上的中线．且，则的长是

A.  B.  C.  D.

3. 在下列以线段、、的长为边，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 一个正方形的面积为，则它的对角线长为

A.  B.  C.  D.

5. 如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知矩形的周长为，，则等于

A.  B.  C.  D.

7. 下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是

A.  对边相等 B.  对角相等
C.  对角线相等 D.  对角线互相平分

8. 如图菱形的对角线、相交于点，点是边的中点，若，则的长

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法正确的是

A. 过边形的一个顶点做对角线，可把这个边形分成个三角形
B. 三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值
C. 将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为
D. 一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加，外角和不变

10. 如图，是菱形的对角线、的交点，、分别是、的中点．下列结论：；四边形也是菱形；四边形的面积为；；是轴对称图形．其中正确的结论有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 如图，已知，是角平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则______．
     

12. 如图，在和中，，若利用“”证明≌，则需要加条件______ 或______ ．
     

13. 直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为______．
14. 一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，它是______ 边形．
15. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．
16. 如图，在平行四边形中，对角线，，，为的中点，为边上一点，直线交于点，连结、下列说法：
    四边形为平行四边形
    若，则四边形为矩形
    若，则四边形为菱形
    若，则四边形为正方形
    正确的有：______填序号．

三．解答题（本题共8小题，共86分）

17. 已知，中，，，为中点，于，，求和的长．
18. 画图题．如图：在内部求作一点，使，并且到两边的距离相等．不写作法，保留作图痕迹．
     

19. 如图，有两只猴子在一棵树高的点处，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶后直线越向池塘的处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

20. 如图，在中，平分，于，于点，，
    求证：；
    判断的形状并证明．
     

21. 如图，在矩形中，已知，，求的长和矩形的面积．
    
     

22. 已知：如图，四边形为平行四边形，点、、、在同一直线上，．
    求证：≌；
    ．
     

23. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且连接，，，．
    证明：≌．
    若，，求四边形的周长．
     

24. 如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．

证明：四边形是菱形；

点与点重合时，求；
求的面积的取值范围．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．
【解答】
解： 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，
另一个锐角的度数是 ．
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：，是边上的中线，且，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：．
由勾股定理的逆定理，判定是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】

【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
正方形的对角线长为，
故选：．
求出正方形的边长，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是求出正方形的边长，进而利用等腰直角三角形的性质解答．
 

5.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】

【解析】解：矩形的周长为，
，
故选A．
根据矩形的周长公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的周长公式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：矩形的性质有：四个角都是直角，对角线相等且平分，对边平行且相等；
平行四边形的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分；
故矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选C．
举出矩形和平行四边形的性质，再比较即可得到答案．
本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，且，
又点是边的中点，
，
，
故选：．
根据四边形是菱形可知对角线相互垂直，得出，，即可求出．
本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：、过边形的一个顶点做对角线，可把这个边形分成个三角形，故不符合题意；
B、三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性也有利用价值，故不符合题意；
C、将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为或或，故不符合题意；
D、一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加，外角和不变，故符合题意；
故选：．
根据矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角和定理与外角和定理即可得到结论
本题考查的是矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：正确
、分别是、的中点．
．

．
正确
四边形是菱形，，分别是，的中点．
，．
．
．
同理：
四边形是菱形．
正确
菱形的面积．
、分别是、的中点．
．
菱形的面积．
不正确
由已知可求得，而无法求得．
正确
，，．
≌．
是轴对称图形．
正确的结论有四个，分别是，故选：．
正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
不正确，根据已知可求得，而无法求得．
正确，由已知可证得≌，从而可推出结论正确．
此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
 

11.【答案】

【解析】解：过点作，

，
，
，
是的平分线，，，
，
的长为．
故答案为：．
过点作，可得出，在直角三角形中，由直角三角形的性质得出的长，再由角平分线的性质求得的长．
本题考查了含角的直角三角形的性质，的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
 

12.【答案】；

【解析】解：，
，
≌．
故答案为或．
本题要判定≌，已知，，具备了一组边、一组角等于，或后可根据判定三角形全等；
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

13.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，斜边长为，
设斜边上的高为，
则，
解得．
故答案为：．
根据勾股定理求出斜边长，根据三角形的面积公式求出答案．
本题考查了对三角形的面积和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

14.【答案】八

【解析】

【解答】
解：多边形的外角和是 ，根据题意得：

解得 ．
故答案为：八．
【分析】
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．   

15.【答案】

【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
 

16.【答案】

【解析】解：为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
≌，
，
四边形为平行四边形，
故正确；
若，，
，
又，
，
，
∽，
．
四边形为矩形．
故正确；
，，
，
又，
，
，
四边形为菱形．
故正确；
时，四边形为矩形，时，四边形为菱形，
时，四边形不可能是正方形．
故错误．
故答案为：．
根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
；
为中点，
，
，
．
和的长分别为：，．

【解析】根据含角的直角三角形性质求解的长，由中点的定义可求解的长，再利用斜边上的中线性质求出．
本题考查了角三角形斜边上的中线性质和含角的直角三角形的性质，能根据性质得出是解此题的关键．
 

18.【答案】解：

点就是所求的点．

【解析】使，即作的中垂线，并且到两边的距离相等，即作角平分线，两线的交点就是点的位置．
本题主要考查了尺规作图的一般作法．
 

19.【答案】解：设为，且存在，
即，，
在直角中，为斜边，
则，
即
解得米，
故树高米米米，
答：树高为米．

【解析】已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．
 

20.【答案】证明：平分，于点，于点，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形．

【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，
根据题意可得，，从而得出≌，进而得出，得，进而可以解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
由勾股定理得：，
矩形的面积．

【解析】根据矩形的性质得出，，，，求出，，根据等边三角形的判定定理得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，再求出矩形的面积即可．
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
由知，≌，
，
．

【解析】根据平行四边形的性质，可以得到，，然后即可得到，再根据即可证明≌；
根据中的结论和全等三角形的性质，可以得到，从而可以得到．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解；证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：，
在和中，
，
≌．
，
，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，，
又，
，
即，
故四边形为菱形．
，
．

故四边形的周长为．

【解析】由正方形对角线性质可得，再由可证≌；
由正方形性质及勾股定理可求得，再证明四边形为菱形，因为，所以可得，在中用勾股定理求得，进而四边形的周长为，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．
 

24.【答案】证明：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：点与点重合时，如图所示：
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
；
解：当过点时，如图所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，
当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为，
．

【解析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得结论；
点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得；
当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值即可．
本题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质，勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．